Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

Lista 2 para a p2, Álgebra Linear I, 2015.1, Produto Interno, exercício 3)

Seja Equation um conjunto ortogonal e Equation . Mostre que

Equation

Conclua que se Equation é um conjunto ortonormal, então Equation para Equation .

Passo 1

Primeiro de tudo, vamos entender o que o enunciado pede. O enunciado pede para mostrar que qualquer COEFICIENTE de um vetor do conjunto, ou seja, um Equation para Equation , pode ser escrito na forma indicada.

O Equation simboliza qualquer vetor do conjunto.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já entendemos o que significa o enunciado, vamos começar a provar. Lembre-se que existe um vetor Equation qualquer ai dentro, que não sabemos em que lugar se encontra. Então vamos pegar:

Equation

E aplicar o produto interno dos dois lados, com esse vetor qualquer do conjunto Equation :

Equation

Pelas propriedades do produto interno podemos separar o lado direito da equação acima em:

Equation

Equation

Passo 3

Ahhh, então como o conjunto é ORTOGONAL, ou seja, todos os vetores são ortogonais entre si, podemos zerar tudo! Opa, calma aí! Quase todos são ortogonais.

Lembre-se que você está fazendo o produto interno com um dos vetores do próprio conjunto! Como Equation não é ortogonal com Equation , afinal são o mesmo vetor, o produto interno deles dá diferente zero. E mais! Ele é Equation . Assim nossa expressão se resume à:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 4

Agora só falta ver o que acontece se o conjunto for ortonormal. Ahh então vamos ter que provar tudo de novo? Não seria necessário; a única diferença é que além dos vetores serem ortogonais, agora eles também são unitários, ou seja, têm norma igual a Equation .

Logo, Equation . E assim:

Equation

Equation

Passo 5

-

Uma observação importante. O que exatamente acabamos de provar? Significa que se temos uma base ortogonal para Equation , por exemplo, podemos escrever qualquer vetor como Equation dos vetores da base SÓ QUE com os coeficientes:

Equation Equation

Assim, podemos escrever Equation como:

Equation

Essa relação vale sempre para bases ortogonais! Se for ortonormal, só botar o módulo igual a 1. XD

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