Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2017.1, Questão 3

Seja R 2 espaço vetorial real com um certo produto interno < , > dado, tal que α = 1 ,   2 , 2 ,   3 é uma base ortonormal com relação a este < , > .

  1. Seja v = 1 ,   0 e w = 0 ,   1 . Calcule < v , w > .
  2. Determine a expressão deste produto interno, < ( x 1 , y 1   ) , ( x 2 , y 2 ) > .

Passo 1

Letra a)

Posso escrever os vetores v e w na base α :

Sendo u 1 = 1 ,   2 e u 2 = 2 ,   3 ,

v = a u 1 + b   u 2

w = c u 1 + d u 2

Agora conseguimos utilizar a linearidade do produto interno para chegar ao produto interno entre eles :

< a u 1 + b   u 2 ,   c u 1 + d u 2 >   =   < a u 1 ,   c u 1 + d u 2 > + < b   u 2 ,   c u 1 + d u 2 >

< a u 1 ,   c u 1 > + < a u 1 ,   d u 2 > + < b   u 2 ,   c u 1 > +   < b   u 2 ,   d u 2 >    

a c < u 1 , u 1 > + a d < u 1 ,   u 2 > + b c < u 2 ,   u 1 > + b d < u 2 ,   u 2 >    

Se u 1 e u 2 formam uma base ortonormal, sabemos duas coisas sobre eles:

  • O produto interno entre eles é igual a zero
  • O modulo de cada um deles é igual a 1, como u = < u , u > , < u , u > = 1

Assim podemos substituir os valores dos produtos internos na expressão acima:

< v , w > = a c + b d

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só achar os valores dos coeficientes a , b , c e d :

v α v = a u 1 + b   u 2 1 ,   0 = a 1 ,   2 + b 2 ,   3

1 = a + 2 b 0 = 2 a + 3 b a = - 3 b 2

Substituindo o valor de a em função de b na primeira equação, achamos que b = 2 e a = - 3 .

[ w ] α w = c u 1 + d u 2 0,1 = c 1 ,   2 + d ( 2 ,   3 )

0 = c + 2 d c = - 2 d 1 = 2 c + 3 d

Substituindo o valor que achamos para c   em função de d na segunda equação, descobrimos que d = - 1 e c = 2 .

Pronto, agora é só relembrar a expressão que achamos ali em cima e aplicar os valores que achamos!

< v , w > = a c + b d = - 3 2 + 2 - 1 = - 8

Passo 3

Letra b)

Aqui na letra b vamos usar o mesmo raciocínio da letra a. Repara que calculamos o produto interno < v , w > (pela linearidade) considerando esses vetores como dois vetores genéricos na base α e depois substituímos os valores.

Assim, essa equação que achamos também vale aqui:

< v , w > = a c + b d   < x 1 , y 1   , x 2 , y 2 >   = a c + b d

Tá, beleza, mas o que essas letras   a , b , c ,   d representam mesmo? São os coeficientes da combinação linear que fizemos para por nossos vetores na base α !

Como fomos nós que inventamos essas letras, não podemos deixar elas na nossa resposta, assim, temos que tentar colocá-las em função de outros termos.

Passo 4

Vamos fazer nossas combinações lineares:

x 1 , y 1   = a 1 ,   2 + b 2 ,   3

x 2 , y 2   = c 1 ,   2 + d ( 2 ,   3 )

Separando as equações de cada coeficiente:

x 1 = a + 2 b a = x 1 - 2 b y 1 = 2 a + 3 b x 2 = c + 2 d c = x 2 - 2 d y 2 = 2 c + 3 d

Substituindo o valor de a na segunda equação, achamos que b = 2 x 1 - y 1 e posteriormente, a = - 3 x 1 + 2 y 1 . Fazendo o mesmo para os valores de c   e d , encontramos os seguintes valores: d = 2 x 2 - y 2 e   c = - 3 x 2 + 2 y 2 .

Assim temos todos os valores que precisamos em função de termos que o enunciado forneceu. Agora é só botar tudo na expressão que achamos!!

< x 1 , y 1   , x 2 , y 2 >   = a c + b d = - 3 x 1 + 2 y 1 ( - 3 x 2 + 2 y 2 ) + 2 x 1 - y 1 ( 2 x 2 - y 2 )

9 x 1 x 2 - 6 x 1 y 2 - 6 x 2 y 1 + 4 y 1 y 2 + 4 x 1 x 2 - 2 x 1 y 2 - 2 x 2 y 1 + y 1 y 2

13 x 1 x 2 - 8 x 1 y 2 - 8 x 2 y 1 + 5 y 1 y 2

Passo 5

Antes de terminar, repara nisso aqui:

x 1 , y 1   α = a ,   b

x 2 , y 2   α = c ,   d

Se eu fizer o produto interno usual do R n olha o que eu vou achar:

< x 1 , y 1   α ,   x 2 , y 2   α > = a c + b d

Mas eu já tinha achado que:

< x 1 , y 1   , x 2 , y 2 >   = a c + b d

Então eu consigo concluir que se eu quero achar um produto interno que não sei a expressão e tenho uma base ortonormal posso usar isso:

< x 1 , y 1   , x 2 , y 2 > = < x 1 , y 1   α ,   x 2 , y 2   α >

Ou seja, é só calcular o produto interno usual do R n dos dois vetores na base ortonormal.

Resposta

  1. - 8
  2. 13 x 1 x 2 - 8 x 1 y 2 - 8 x 2 y 1 + 5 y 1 y 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas