Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P4 - 2014.1, Questão 3

Sejam v 1 e v 2 dois vetores ortogonais de R 2 , ambos com a norma 1 .

a   Mostre que, se x = α v 1 + β v 2 , então α = x v 1 .

b   Seja T : R 2 R 2 uma transformação linear. Escreva a matriz de T na base β = { v 1 ,   v 2 } usando os produtos internos de v 1 , v 2 , T v 1 e   T ( v 2 ) .

c   T é chamada de autoadjunta se, para quaisquer dois vetores u , v R 2 , vale:

T u v = u , T v

Mostre que se T é autoadjunta, então a matriz de T na base β = { v 1 , v 2 } é simétrica: T β T = T β

( d ) Verifique que T x , y = ( y , x ) é autoadjunta, mas que sua matriz na base γ = 2,0 , 0,1 não é simétrica.

Passo 1

Letra ( a )

Vamos pegar a equação indicada:

x = α v 1 + β v 2

Agora como na nossa tese queremos provar que α = x v 1 ., então vamos aplicar o produto interno dos dois lados com v 1 :

x , v 1 = α v 1 + β v 2 , v 1

x , v 1 = α v 1 , v 1 + β v 2 , v 1

x , v 1 = α v 1 , v 1 + β v 2 , v 1

Mas como sabemos que v 1 ,   v 2 são ortogonais, v 2 ,   v 1 = 0 :

x , v 1 = α v 1 , v 1

Agora lembre-se que v 1 , v 1 = v 1 2 e como os vetores são ortonormais, a norma de cada um é 1 .

x , v 1 = α

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra ( b )

Bom, para escrever a matriz temos que saber a imagem dos vetores da base, mas como ano temos a expressão vamos deixar por T v 1 ,   T ( v 2 ) .

Agora falta escrevê-los nas coordenadas da base β :

T v 1 = a v 1 + b v 2

Pela letra ( a ) , já sabemos que a = T ( v 1 ) , v 1 . Além disso, podemos aplicar o mesmo princípio para b . Basta fazermos as mesmas contas só que aplicando o produto interno dos dois lados com v 2 ao invés de v 1 .

b = T v 1 , v 2

Agora que já fizemos para T ( v 1 ) , o processo é análogo para T ( v 2 ) :

T v 2 = c v 1 + d v 2 c = T v 2 , v 1 ,   d = T v 2 , v 2

E assim:

T β = T ( v 1 ) , v 1 T v 2 , v 1 T v 1 , v 2 T v 2 , v 2

Passo 3

Letra ( c )

Observa aí, que na questão anterior nós montamos exatamente a matriz T β , então vamos prestar atenção nela:

T β = T ( v 1 ) , v 1 T v 2 , v 1 T v 1 , v 2 T v 2 , v 2

Bom, agora disse que a matriz simétrica é quando A T = A , mas isso também implica que a matriz simétrica tem a “cara” de todos os seus elementos iguais em relação diagonal principal lembra? Tipo um espelho. Blz, agora vamos prestar atenção na nossa matriz e nossas hipóteses.

Repara que a nossa hipótese é: Se T é autoadjunta.

Relembrando que quando ela é autoadjunta vale:

T u v = u , T v

Bom, então já temos a matriz T β , ocasionalmente escrito com produtos internos. Bom, então vamos verificar se caso ela for autoadjunta se ela vai ser simétrica mesmo, em outras palavras: Se a propriedade a cima valer, então os elementos fora da diagonal principal vão ser iguais, tipo um espelho.

Vamos pegar o elemento a 21 da matriz:

T v 1 , v 2

Se ela for autoadjunta, então:

T v 1 , v 2 = v 1 ,   T v 2

Que é exatamente igual ao elemento a 12 da matriz. E portanto ela é simétrica. Se quiser pode verificar que T β T = T β .

Passo 4

Letra ( d )

Para verificar que T x , y = ( y , x ) é autoadjunta vamos ver se ela satisfaz a condição:

T u v = u T v

Então, vamos definir u = u 1 , u 2 ,   v = ( v 1 , v 2 ) e aplicar a condição:

Lado esquerdo:

T u 1 , u 2 , v 1 , v 2 = u 2 , u 1 , v 1 , v 2 = u 2 v 1 + u 1 v 2

Lado direito:

u 1 , u 2 , T v 1 , v 2 = u 1 , u 2 , v 2 , v 1 = u 1 v 2 + u 2 v 1

Como achamos a mesma coisa dos dois lados então a T do enunciado é de fato autoadjunta.

Passo 5

Agora vamos ver que a matriz dela na base γ não é simétrica. Para isso, vamos calculá-la e ver no que dá.

T 2,0 = 0,2

T 0,1 = 1,0

T 2,0 γ = 0 2

T 0,1 γ = 1 2 0

T γ = 0 1 2 2 0

Como a 21 = 2 a 12 = 1 2 , então ela não é simétrica.

Resposta

Letra ( b )

T β = T ( v 1 ) , v 1 T v 2 , v 1 T v 1 , v 2 T v 2 , v 2

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