Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2017.2, Questão 4

Sejam u e v vetores de R n . Considere as afirmativas abaixo:

I - Se u + v = u - v , então u , v = 0

I I - Se u , v = 0 , então u + v = u + v

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) Ambas são falsas

(c ) Ambas são verdadeiras

(d) I   é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Vamos ver a afirmativa I :

Sabemos que o módulo de um vetor é a raíz do produto interno dele com ele mesmo:

u + v = u + v , u + v

u - v = u - v , u - v

Igualando esses dois:

u + v , u + v = u - v , u - v

u + v , u + v = u - v , u - v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar a linearidade do produto interno para resolver isso!

u + v , u + v = u - v , u - v

u , u + 2 u , v + v , v = u , u - 2 u , v + v , v

2 u , v = - 2 u , v

Para isso ser verdade é preciso que u , v seja igual a zero, como diz a primeira afirmativa.

Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Vamos para a I I :

Vamos desenvolver u + v = u + v da mesma forma:

u + v , u + v = u , u + v , v

Botando os dois lados ao quadrado:

u + v , u + v = u , u + 2 u , u v , v + v , v

u , u + 2 u , v + v , v = u , u + 2 u , u v , v + v , v

Como ele fala que u , v = 0 :

u , u + v , v = u , u + 2 u , u v , v + v , v

Opa, não deu igual! Logo essa afirmativa é falsa

Resposta

a

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