Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 164 – Ext 5.8

Sejam v 1 , v 2 , , v n vetores ortogonais dois a dois, isto é, v i v j = 0 se i j . Prove que

v 1 + + v n 2 = v 1 2 + + v n 2

Passo 1

-

Primeiro vamos reescrever essa equação de um jeito mais conveniente para nós. Sabemos que:

v = v , v

Logo,

v 1 + + v n , v 1 + + v n = v 1 , v 1 + + v n , v n

Pela linearidade do produto interno, temos que o lado esquerdo da equação fica:

v 1 + + v n , v 1 + + v n = v 1 , v 1 + + v n + + v n , v 1 + + v n

E, usando novamente a linearidade e o fato dos vetores serem ortogonais, temos:

v i , v 1 + + v n = v i , v 1 0 + 0 + v i , v i + 0 + v i , v n 0 = v i , v i

Portanto,

v 1 , v 1 + + v n + + v n , v 1 + + v n = v 1 , v 1 + + v n , v n

como queríamos demonstrar.

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