Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

UFPE, Geometria Analítica, 1º EE - 2017.1, Questão Q2

Sejam u e v vetores.

a) Prove que u + v 2 + u - v 2 = 2 ( u 2 + v 2 ) .

Sabendo que 2 u + 3 v = 61 , 2 u - 3 v = 21 e v = 5 3

b1) Calcule | u | .

b2) Calcule u . v .

Passo 1

a) Escrever u + v 2 é a mesma coisa que

u + v . u + v = u 2 + 2 u v + | v | ²

Assim como u - v 2 equivale a

u - v . u - v = u 2 - 2 u v + | v | ²

Somando essas duas expressões, a gente vai ter

u + v 2 + u - v 2 = u 2 + 2 u v + v 2 + u 2 - 2 u v + | v | ²

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

u + v 2 + u - v 2 = 2 ( u 2 + v 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b1) Vamos usar a identidade que a gente provou no item a, assim olha

2 u + 3 v 2 + 2 u - 3 v 2 = 2 ( 2 u 2 + 3 v 2 )

61 + 21 = 2 ( 4 u 2 + 9 5 3 2 )

u 2 = 82 - 50 8 = 4

u = 2

Passo 3

b2) Agora vamos usar uma das relações que a gente apresentou no item a:

2 u + 3 v 2 = 2 u 2 + 2.2 u . 3 v + 3 v 2

61 = 4.4 + 12 . u . v + 9 5 3 2

u . v = 61 - 16 - 25 12

u . v = 5 3

Resposta

a) Demonstração.

b1) u = 2

b2) u . v = 5 3

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