Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2015.2.1, Questão 13

Sejam v , w vetores tais que v = w = 1 . Considere as afirmativas:

  1. v + w e v - w são ortogonais.
  2. É possível que v + w = v - w = 1

a   I e II são verdadeiras.

b   I é verdadeira e II é falsa

c   I é falsa e II é verdadeira

d   I e II são falsas.

Passo 1

Afirmativa I:

Para ver se os vetores são ortogonais, basta fazer o produto interno entre eles:

v + w , v - w = 0

Usando as propriedades do produto interno:

v + w , v + v + w , - w = 0

v , v + w , v + v , - w + w , - w = 0

v , v + w , v - v , w - w , w = 0

Como sabemos que o produto interno de um vetor com ele mesmo é o módulo dele ao quadrado e que o produto interno é comutativo:

1 + w , v - w , v - 1 = 0 0 = 0

E assim vemos que eles são de fato ortogonais e, portanto, a afirmativa é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmativa II:

Se v + w = v - w = 1 , então:

v + w 2 = v - w 2 = 1 2 = 1

Agora vamos desenvolver primeiro v + w 2 = 1 .

v + w 2 = v + w , v + w = 1

v + w , v + v + w , w = 1

v , v + w , v + v , w + w , w = 1

1 + 2 w , v + 1 = 1

w , v = - 1 2

Passo 3

Vamos desenvolver agora v - w 2 = 1 :

v - w 2 = v - w , v - w = 1

v - w , v + v - w , - w = 1

v , v + - w , v + v , - w + - w , - w = 1

1 - 2 w , v + 1 = 1

w , v = 1 2

Logo vimos que para v + w = 1 temos uma condição e para v - w = 1 temos uma outra condição! Assim, se quiséssemos que ambos os vetores v + w e v - w tenham módulos igual a 1 ,não necessariamente ao mesmo tempo, seria verdade.

Mas o que o exercício nos pede é que o módulo dos dois seja igual a 1 ao mesmo tempo ( v + w = v - w = 1 ) , o que seria impossível, pois para cada um deles serem iguais a 1 precisam de duas condições diferentes e, portanto, v , w não podem assumir dois valores ao mesmo tempo, logo é um absurdo.

Resposta

Letra ( b )

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