Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2017.1, Questão 10

Sejam u e v vetores unitários do R n .

I   -   2 u - v é necessariamente menor do que 2 u + v

I I   - Se u e v   são ortogonais, então 2 u - v = 2 u + v

(a) Ambas são falsas

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e I I é verdadeira

(d) I é verdadeira e   I I é falsa

Passo 1

Queremos, primeiramente, saber se 2 u - v é sempre menor que 2 u + v . Vamos usar que w = w , w :

2 u - v 2 = 2 u - v , 2 u - v

Pela linearidade do produto interno, posso desmembrar isso aí:

2 u - v , 2 u - v = 4 u , u - 2 u , v - 2 u , v + v , v

Como no enunciado ele fala que os vetores são unitários, u , u = 1 e v , v = 1 .

2 u - v 2 = 5 - 4 u , v

Agora vamos fazer o mesmo para   2 u + v :

2 u + v 2 = 2 u + v , 2 u + v

Pela linearidade do produto interno:

2 u + v , 2 u + v = 4 u �� , u + 2 u , v + 2 u , v + v , v

Como no enunciado ele fala que os vetores são unitários, u , u = 1 e v , v = 1 .

2 u + v 2 = 5 + 4 u , v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele quer saber se isso é sempre verdade:

2 u - v < 2 u + v

O que faria isso aqui ter que ser verdade também:

2 u - v 2 < 2 u + v 2

5 - 4 u , v < 5 + 4 u , v

5 - 4 u , v < 5 + 4 u , v

8 u , v > 0

Ou seja, isso só vai ser verdade quando o produto interno entre os vetores for maior que zero. Como ele nunca vai ser menor que zero, vai ser falso apenas quando o produto interno for zero, ou seja, quando forem ortogonais!

Logo a afirmativa é falsa!

Passo 3

Agora ele fala que se forem ortogonais 2 u - v = 2 u + v , vamos fazer o mesmo que fizemos ali em cima:

2 u - v 2 = 2 u + v 2

5 - 4 u , v = 5 + 4 u , v

Como são ortogonais u , v = 0

5 = 5

Como isso é sempre verdade, essa alternativa é verdadeira.

Resposta

c

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas