Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Passo 1

Agora temos que achar o sistema de coordenadas no qual a forma quadrática (dá no mesmo que se fosse formalmente uma quádrica) fica reduzida. Pra isso, como vimos na teoria, temos só que calcular os autovetores da matriz associada

Passo 2

Temos que:

q C a n = 1 6 6 - 4

Calculando os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = 0 ⇒ 1 - λ 6 6 - 4 - λ = 0

- 1 - λ 4 + λ - 36 = 0

Logo os autovalores são - 8 e 5 .

λ = - 8

9 6 6 4 x y = 0 0

6 x + 4 y = 0 ⇒ y = - 3 x 2

x 2 + 9 x 2 4 = 1 ⇒ x = 2 13 13

Logo o autovetor de norma 1   associado é 2 13 13 , - 3 13 13

λ = 5

- 4 6 6 - 9 x y = 0 0

- 4 x + 6 y = 0 ⇒ y = 2 x 3

x 2 + 4 x 2 9 = 1 ⇒ x = 3 13 13

Logo o autovetor de norma 1   associado é 3 13 13 , 2 13 13

Como a base que procuramos é justamente aquela formada pelos autovetores:

β = 2 13 13 , - 3 13 13 , 3 13 13 , 2 13 13

Resposta

β = 2 13 13 , - 3 13 13 , 3 13 13 , 2 13 13

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