Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Considere a quádrica dada por

- x 2 + 2 y z + 2 x + 1 = 0

Determine a equação reduzida(sem termos mistos, nem lineares quando possível) e identifique a quádrica.

Passo 1

Vamos identificar os coeficientes da nossa equação, se você não lembra, a equação geral das quádricas é dada por:

A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0

Para no nosso caso então, teremos:

- x 2 + 2 y z + 2 x + 1 = 0

A =   - 1 ,   F = 2 ,   G = 2   e   J = 1

TODOS OS OUTROS COEFICIENTES SERÃO IGUAIS A ZERO

Passo 2

Agora vamos colocar a nossa equação na forma matricial, pra quem não lembra, olha ela aí

Calmaaaaa, é só a gente substituir os coeficientes que encontramos no passo 1.Substituindo tudo, ficamos com:

x     y     z - 1 0 0 0 0 1 0 1 0 x y z + 2     0     0 x y z + 1 = 0

Belezinha, mas o que fazemos agora?

Passo 3

Vamos olhar agora para a matriz quadrada da nossa equação matricial, precisamos diagonalizar ela. Para isso encontramos os autovalores e os autovetores.

Agora, partiu calcular os Autovalores   ( λ ) !

Temos K = - 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Se você não lembra a formulinha, é essa aqui ô: K - λ I = 0

Substituindo os valores,

K - λ I = - 1 - λ 0 0 0 - λ 1 0 1 - λ = 0

Calculando esse determinante, achamos:

- 1 - λ . ( λ 2 - 1 ) = 0

Logo, λ 1 = 1 ,   λ 2 = λ 3 = - 1 .

Passo 4

Partiu calcular os Autovetores agora!

A formulinha é K - λ I v = 0

Para λ 1 = 1 , temos:

- 2 0 0 0 - 1 1 0 1 - 1 x y z = 0 0 0

- 2 x = 0 - y + z = 0 y - z = 0 ⇒ x = 0 y = z

Com isso, dizemos que x , y   , z = ( 0 , z   , z )

Ou seja, o autoespaço de λ 1 é gerado por ( 0,1 , 1 ) , normalizando, teremos:

v 1 = [ 0 , 1 2 , 1 2 ]

Para λ 2 = - 1

0 0 0 0 1 1 0 1 1 x y z = 0 0 0

0 = 0 y + z = 0 y + z = 0 ⇒ y = - z

x é uma variável livre, então teremos que o autoespaço de λ 2 é gerado por (1,0,0) e (0,-1, 1). Normalizando, obtemos:

v 2 = [ 1,0 , 0 ,   ( 0 , - 1 2 , 1 2 ) ]

Com isso, conseguimos montar nossa matriz dos autovalores ( M ) e dos autovetores ( N ) e substituir em uma nova fórmula matricial:

x '     y '     z ' M x ' y ' z ' + G     H     I N x ' y ' z ' + J = 0

Sendo M = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 e N = ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓

CUIDADO: A ordem dos autovalores e autovetores importa, então cuidado para não trocar eles!!

Passo 5

Substituindo, teremos

x '     y '     z ' M x ' y ' z ' + G     H     I N x ' y ' z ' + J = 0

x '     y '     z ' 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 x ' y ' z ' + 2     0     0 0 1 0 1 2 0 - 1 2 1 2 0 1 2 x ' y ' z ' + 1 = 0

Resolvendo essa coisa “amigável” aí, temos:

x ' 2   -   y ' 2 -   z ' 2 + 2 y ' = - 1

Completando quadrados,

x ' 2   -   y ' - 1 2 -   z ' 2 + 2 y ' = - 1 - 1

Atribuindo:

x ’ ’   =   x ’  

  y ’ ’ =   y ’ -   1  

  z ’ ’ = z ’

Ficamos com:

x ' ' 2   -   y ' ' 2 -   z ' ' 2 = - 2

Mudando o sinal e dividindo por 2, temos:

- x ' ' 2 2 +   y ' ' 2 2 +   z ' ' 2 2 = 1

A quádrica é uma hiperboloide de uma folha.

Pode comemorar, ACABOOOOOU!!!

Resposta

  - x ' ' 2 2 +   y ' ' 2 2 +   z ' ' 2 2 = 1

A quádrica é um hiperboloide de uma folha

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