Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Seja Σ a quádrica de equação - x 1 2 + 2 x 2 x 3 + x 3 - x 2 - 3 2 = 0 .

a) Reduza a equação de Σ à sua forma normal (também dita forma canônica ou forma reduzida).

Obs: Para efeito da letra (b) a seguir, certifique-se que você ordenou adequadamente a base ortonormal encontrada de modo a garantir uma rotação espacial.

b) Determine a rotação (especificando o eixo orientado e o ângulo de rotação) e a translação (especificando o vetor utilizado para a translação) do sistema de coordenadas ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) que reduzem a equação de Σ à sua forma normal.

Passo 1

a) Sabemos que as quádricas no R 3 têm uma fórmula geral dada por

A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0

Vamos reescrever a equação de Σ deixando em função de x , y e z :

- x 2 + 2 y z + z - y - 3 2 = 0

Nesse caso, nossos coeficientes são:

A = - 1

B = C = D = E = G = 0

I = 1

F = 2

H = - 1

J = - 3 2

Podemos escrever essa equação matricialmente, assim:

x   y   z A D 2 E 2 D 2 B F 2 E 2 F 2 C x y z + G   H   I x y z + J = 0

x   y   z - 1 0 0 0 0 1 0 1 0 x y z + 0 - 1   1 x y z - 3 2 = 0

Passo 2

Agora vamos diagonalizar a matriz K da equação encontrada, dada por

K = - 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Primeiro vamos calcular os autovalores dela:

p λ = det ⁡ K - λ I = - 1 - λ 0 0 0 - λ 1 0 1 - λ = - λ 3 - λ 2 + λ + 1

As raízes de p ( λ ) são λ ' = 1 e λ ' ' = - 1 .

Belezinha, agora vamos calcular os autovetores associados a cada autovalor.

Para λ ' = 1 :

- 1 0 0 0 0 1 0 1 0 x y z = 1 x y z

Multiplicando as matrizes, chegamos no sistema:

- x = x → x = 0 z = y y = z

Então, a solução é da forma 0 ,   y ,   y = y ( 0 ,   1 ,   1 ) .

Então o autoespaço de λ ' = 1 é gerado por ( 0 ,   1 ,   1 ) . Normalizando esse vetor, temos o autoespaço:

V 1 = 0 , 1 2 ,   1 2

Agora para λ ' ' = - 1 :

- 1 0 0 0 0 1 0 1 0 x y z = - 1 x y z

Isso nos dá o sistema:

- x = - x z = - y y = - z

Então a solução é da forma x ,   y ,   - y = x 1 ,   0 ,   0 + y ( 0 ,   1 ,   - 1 ) . Normalizando esses vetores:

V - 1 = 1 ,   0 ,   0 ,   0 , 1 2 ,   - 1 2

Passo 3

Boa, agora temos uma base ortonormal de vetores β = 0 , 1 2 ,   1 2 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 , 1 2 ,   - 1 2 .

Vamos escrever essa base nas colunas de uma matriz N :

N = 0 1 0 1 2 0 1 2 1 2 0 - 1 2

A matriz de autovalores correspondente é

M = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

Vamos chamar nossas variáveis de x ' , y ' e z ' . A forma matricial da quádrica, agora que temos a matriz de autovalores e autovetores, vai ficar

x '   y '   z ' M x ' y ' z ' + G   H   I N x ' y ' z ' + J = 0

x '   y '   z ' 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 x ' y ' z ' + 0 - 1   1 0 1 0 1 2 0 1 2 1 2 0 - 1 2 x ' y ' z ' - 3 2 = 0

Multiplicando as matrizes vamos ter que:

x '   y '   z '   x ' - y ' - z ' + 0   - 1     1 y ' 1 2 x ' + z ' 1 2 x ' - z ' - 3 2 = 0

x ' 2 - y ' 2 - z ' 2 - 1 2 x ' + z ' + 1 2 x ' - z ' - 3 2 = 0

x ' 2 - y ' 2 - z ' 2 - 2 2 z ' - 3 2 = 0

x ' 2 - y ' 2 - z ' 2 - 2 z ' - 3 2 = 0

A quádrica além de rotacionada, está trasladada, então vamos completar quadrados:

- z ' 2 - 2 z ' = - z ' 2 + 2 z ' + 1 2 2 - 1 2 2

Pois

z ' + 1 2 2 = z ' 2 + 2 z 1 2 + 1 2 2 = z ' 2 + 2 z ' + 1 2 2

Então o nosso termo é

- z ' + 1 2 2 - 1 2 2 = - z ' + 1 2 2 + 1 2

Jogando na nossa equação

x ' 2 - y ' 2 - z ' + 1 2 2 + 1 2 - 3 2 = 0

x ' 2 - y ' 2 - z ' + 1 2 2 = 1

Mudando as variáveis para:

x ' ' = x '

y ' ' = y '

z ' ' = z ' + 1 2

Vamos ter que

x ' ' 2 - y ' ' 2 - z ' ' 2 = 1

Boaaa! Isso é a equação de um hiperboloide de uma folha. Como o sinal negativo está no y , a figura está ao longo do eixo y .

Passo 4

b) O que a gente precisa aqui nada mais é do que dar uma fórmula geralzona pra rotacionar e trasladar uma quádrica em um sistema de coordenadas ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) .

Sabemos que a matriz N da base β é baseada em

0 1 0 1 2 0 1 2 1 2 0 - 1 2 = cos ⁡ α 1 cos ⁡ α 2 cos ⁡ α 3 cos ⁡ β 1 cos ⁡ β 2 cos ⁡ β 3 cos ⁡ γ 1 cos ⁡ γ 2 cos ⁡ γ 3

Logo:

α 1 = α 3 = β 2 = γ 2 = 90 °

α 2 = 0 °

β 1 = β 3 = γ 1 = 45 °

γ 3 = 135 °

São os ângulos de rotação.

Já para completar quadrados, utilizamos na letra a o vetor v = 1 8 , 0 , 1 8 .

Resposta

a) x ' ' 2 - y ' ' 2 - z ' ' 2 = 1

Hiperboloide de uma folha.

b) α 1 = α 3 = β 2 = γ 2 = 90 °

α 2 = 0 °

β 1 = β 3 = γ 1 = 45 °

γ 3 = 135 °

v = 1 8 , 0 , 1 8

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