Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Considere a quádrica Ω de equação

x 2 - y 2 - 2 z 2 = 4 z

a) Identifique e esboce Ω .

b) Para cada um dos planos π a seguir, identifique γ = Ω ∩ π . Caso γ seja uma cônica não degenerada, indique as coordenadas de um foco e de um vértice de γ .

i) π : x - 2 = 0

ii) π : y = 0

iii) π : z = 0

Passo 1

a) Nossa equação é assim:

x 2 - y 2 - 2 z 2 - 4 z = 0

Completando os quadrados em z , teremos:

x 2 - y 2 - 2 z 2 - 4 z - 2 = - 2

x 2 - y 2 - 2 z 2 + 2 z + 1 = - 2

Dividindo tudo por -2:

- x 2 2 + y 2 2 + z 2 + 2 z + 1 = 1

Isso nos dá um hiperboloide de uma folha trasladado no eixo z . Ele está ao longo do eixo x , que está negativo.

Passo 2

b) i) Substituindo x = 2 na equação para encontrarmos a intersecção, vamos ter

y 2 4 + z + 1 2 2 = 1

Analisando essa equação, vemos que ela é uma elipse com o eixo maior ao longo da reta X = 2 ,   0 ,   - 1 + λ ( 0 ,   1 ,   0 ) e seus parâmetros são a = 2 , b = 2 e c 2 = 4 - 2 = 2 → c = 2 .

Seus focos são F 1 = ( 2 ,   2 ,   - 1 ) e F 2 = ( 2 ,   - 2 ,   - 1 ) .

Seus vértices são

A 1 = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

A 2 = ( 2 ,   - 2 ,   - 1 )

B 1 = ( 2 ,   0 ,   - 1 + 2 )

B 2 = ( 2 ,   0 ,   - 1 - 2 )

ii) Substituindo y = 0 vamos ter

- x 2 2 + z + 1 2 = 1

Isso nos dá uma hipérbole com eixo ao longo do eixo z e parâmetros a = 1 , b = 2 e c = 3 .

Portanto, seus focos são F 1 = ( 0 ,   0 ,   - 1 + 3 ) e F 2 = ( 0 ,   0 ,   - 1 - 3 ) .

Seus vértices são A 1 = ( 0 ,   0 ,   0 ) e A 2 = ( 0 ,   0 ,   - 2 ) .

iii) Substituindo z = 0 , temos

- x 2 2 + y 2 2 = 0

Isso nos dá uma hipérbole degenerada, um par de retas concorrentes.

Resposta

a) Hiperboloide de uma folha

b) i) y 2 4 + z + 1 2 2 = 1

F 1 = ( 2 ,   2 ,   - 1 ) e F 2 = ( 2 ,   - 2 ,   - 1 ) .

A 1 = ( 2 ,   2 ,   - 1 ) A 2 = ( 2 ,   - 2 ,   - 1 ) B 1 = ( 2 ,   0 ,   - 1 + 2 ) B 2 = ( 2 ,   0 ,   - 1 - 2 )

ii) - x 2 2 + z + 1 2 = 1

F 1 = ( 0 ,   0 ,   - 1 + 3 ) e F 2 = ( 0 ,   0 ,   - 1 - 3 ) .

A 1 = ( 0 ,   0 ,   0 ) e A 2 = ( 0 ,   0 ,   - 2 ) .

iii) - x 2 2 + y 2 2 = 0 ; hipérbole degenerada.

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