Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Ache a equação canônica de:

x 2 + x y - y 2 + z 2 + 2 y z

Passo 1

Aqui queremos achar a equação da quádrica numa base em que não apareçam os termos mistos, pra isso só precisamos calcular os autovalores da matriz associada.

Passo 2

Temos que:

q C a n = 1 1 2 0 1 2 - 1 1 0 1 1

Calculando os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = 0 ⇒ 1 - λ 1 2 0 1 2 - 1 - λ 1 0 1 1 - λ = 0

- 1 - λ 2 1 + λ - 1 - λ - 1 4 1 - λ = 0

1 - λ λ 2 - 1 - 5 4 = 0

1 - λ λ - 3 2 λ + 3 2 = 0

Logo os autovalores são 1 , 3 2 e - 3 2 .

Assim uma equação reduzida da quádrica é:

x 2 + 3 2 y 2 - 3 2 z 2 = 1

Resposta

x 2 + 3 2 y 2 - 3 2 z 2 = 1

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