Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Ache a equação canônica de:

y 2 + 2 x y + 4 x z + 2 y z + 6 x + 2 y - 2 z - 3 = 0

Passo 1

Agora nós estamos lidando com termos lineares, portanto devemos fazer todo o esquema da teoria. O jeito de resolver você já tem direitinho, agora troca os valores e se faz de computadorzinho.

Passo 2

Temos que:

q C a n = 0 1 2 1 1 1 2 1 0

Calculando os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = - λ 1 2 1 1 - λ 1 2 1 - λ = 0

λ 2 1 - λ + 2 + 2 - 4 1 - λ + λ + λ = 0

- λ 3 + λ 2 + 6 λ = λ - λ 2 + λ + 6 = 0

λ 1 = 0 ,   λ 2 = - 2 ,   λ 3 = 3

Passo 3

λ = 0

0 1 2 1 1 1 2 1 0 x y z = 0 0 0

2 x + y = 0 y + 2 z = 0 ⇒ z = x y = - 2 x

x 2 + x 2 + 4 x 2 = 1 ⇒ x = 6 6

Logo o autovetor de norma 1 correspondente é e 1 = 6 6 , - 2 6 6 , 6 6

λ = - 2

2 1 2 1 3 1 2 1 2 x y z = 0 0 0

2 x + y + 2 z = 0 x + 3 y + z = 0 ⇒ y = 0 z = - x

x 2 + x 2 = 1 ⇒ x = 2 2

Logo o autovetor de norma 1 correspondente é e 2 = 2 2 , 0 , - 2 2

λ = 3

- 3 1 2 1 - 2 1 2 1 - 3 x y z = 0 0 0

- 3 x + y + 2 z = 0 2 x + y - 3 z = 0 ⇒ z = x y = x

x 2 + x 2 + x 2 = 1 ⇒ x = 3 3

Logo o autovetor de norma 1 correspondente é e 3 = 3 3 , 3 3 , 3 3

Assim, a base de autovetores é B = 6 6 , - 2 6 6 , 6 6 , 2 2 , 0 , - 2 2 , 3 3 , 3 3 , 3 3 .

Passo 4

Achamos a matriz de mudança de base:

I d C a n ← B = 6 6 2 2 3 3 - 2 6 6 0 3 3 6 6 - 2 2 3 3

E temos que

6 x 1 + 2 y 1 - 2 z 1 = 6 2 - 2 x 1 y 1 z 1

x 1 y 1 z 1 = 6 6 2 2 3 3 - 2 6 6 0 3 3 6 6 - 2 2 3 3 x 2 y 2 z 2

6 x 1 + 2 y 1 - 2 z 1 = 6 2 - 2 6 6 2 2 3 3 - 2 6 6 0 3 3 6 6 - 2 2 3 3 x 2 y 2 z 2

6 x 1 + 2 y 1 - 2 z 1 = 0 4 2 2 3 x 2 y 2 z 2 = 4 2 y 2 + 2 3 z 2

Logo a equação após a rotação é:

- 2 y 2 + 3 z 2 + 4 2 y + 2 3 z - 3 = 0

Passo 5

Completando os quadrados:

- 2 y 2 - 4 2 y + 4 + 3 z 2 + 2 3 z + 1 - 3 = - 4 + 1

- 2 y - 2 2 + 3 z + 1 2 = 0

- 2 y - 2 2 + 3 z + 3 3 2 = 0

Fazendo então:

y 3 = y 2 - 2

z 3 = z 2 + 3 3

Chegamos por fim na equação:

- 2 y 2 + 3 z 2 = 0

Resposta

- 2 y 2 + 3 z 2 = 0

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