Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Ache a equação canônica de:

11 x 2 + 10 y 2 + 6 z 2 - 12 x y - 8 y z + 4 x z - 12 = 0

Passo 1

Aqui queremos achar a equação da quádrica numa base em que não apareçam os termos mistos, pra isso só precisamos calcular os autovalores da matriz associada.

Passo 2

Temos que:

q C a n = 1 1 - 6 2 - 6 10 - 4 2 - 4 6

Calculando os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = 0 ⇒ 11 - λ - 6 2 - 6 10 - λ - 4 2 - 4 6 - λ = 0

- λ 3 + 27 λ 2 - 180 λ + 324 = 0

As soluções desta equação polinomial são:

λ 1 = 3 ,   λ 2 = 6   e λ 3 = 18

Assim uma equação reduzida da quádrica é:

3 x 2 + 6 y 2 + 18 z 2 = 12

Resposta

3 x 2 + 6 y 2 + 18 z 2 = 12

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