Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Passo 1

Sem segredos no enunciado, temos uma quádrica e sua matriz, que possui autovalores 2 e 4 . Temos que achar sua equação simplficada

Passo 2

Ora, o enunciado já fez quase todo o trabalho para nós. Tendo os autovalores da matriz, vimos que eles são os coeficientes dos termos quadráticos da equação simplificada, então estamos procurando uma equação onde os coeficientes são 4 e 2 , que no caso é:

4 u 2 + 2 v 2 = 1

Resposta

e   4 u 2 + 2 v 2 = 1

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. x 2 + y 2 - 2 y = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 2 x 2 + 2 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 2 x z + 2 y z - 10 x - 6 y - 2 z - 7 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z + 2 = 0
Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. 2 x 2 - y 2 - 2 z 2 + 8 x + 4 = 0
Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. 3 x 2 + 4 y 2 + 24 x - 8 y + 24 z + 100 = 0