Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

O conjunto dos pontos P x ,   y ,   z do espaço, cuja distância até o ponto A 0 ,   2 ,   0 é igual ao dobro de sua distância até o plano y = - 1 , é uma quádrica.

Ache a equação desta quádrica, identifique (ache centro e, semieixos a ,   b   e   c ) e esboce.

Passo 1

Show de bolinhas meus amores, dado o ponto A = 0 ,   2 ,   0 e o plano π : y = - 1 queremos encontrar o conjunto dos pontos P x ,   y ,   z cuja distância até o ponto A , d P ,   A , seja igual ao dobro da distância do ponto P até o plano π :

d P ,   A = 2 d P .   π

Iradoso, então se a gente abrir essas distâncias temos que:

d P ,   A = P - A = x 2 + y - 2 2 + z 2

E para a distancia de um ponto ao plano, podemos usar a fórmula:

d P ,   π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Dado π : y + 1 = 0 , temos que:

d P ,   π = y + 1 0 2 + 1 2 + 0 ² = y + 1 1

d P ,   π = y + 1

E nossa igualdade entre as distâncias na verdade pode ser reescrita como:

d P ,   A = 2 d P .   π

x 2 + y - 2 2 + z 2 = 2 y + 1

Passo 2

Belezoca, e agora pra reorganizar esses termos, podemos elevar os dois lados ao quadrado:

x 2 + y - 2 2 + z 2 2 = 2 y + 1 2

Logo:

x 2 + y - 2 2 + z 2 = 4 y + 1 2

Abrindo os produtos notáveis, obtemos:

x 2 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 = 4 y 2 + 2 y + 1

x 2 - 3 y 2 - 12 y + z 2 = 0

E se a gente for malandrão e completar o quadrado para y , descobrimos que:

- 3 y 2 - 12 y = - 3 y 2 + 4 y

- 3 y 2 + 4 y = - 3 y + 2 2 - 4

- 3 y + 2 2 - 4 = - 3 y + 2 2 + 12

Logo nosso quádrica pode ser reescrita como:

x 2 - 3 y + 2 2 + 12 + z 2 = 0

Reorganizando novamente:

x 2 - 3 y + 2 2 + z 2 = - 12

E dividindo tudo por - 12 , chegamos na quádrica:

- x 2 12 + y + 2 2 4 - z 2 12 = 1

Passo 3

E pela equação - x 2 12 + y + 2 2 4 - z 2 12 = 1

Vemos que se trata de um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo distinguido é O y (devido o sinal invertido). Enquanto os semieixos são:

a = c = 12

b = 4 = 2

E como o eixo distinguido está em O y = 0 ,   y ,   0 , temos que o vértice do hiperbolóide também vai estar. Então substituindo o ponto 0 ,   y ,   0 na equação, vamos obter:

- 0 2 12 + y + 2 2 4 - 0 2 12 = 1

y + 2 2 = 4

y + 2 = ± 2

y = - 2 ± 2

Portanto y 1 = 0 e y 2 = - 4 de modo que os vértices são:

V 1 = 0 ,   0 ,   0 ,     V 2 = 0 ,   - 4 ,   0

Resposta

  1. - x 2 12 + y + 2 2 4 - z 2 12 = 1 ,   hiperbolóide  de duas folhas

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