Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Ache a equação canônica de:

x y = 1

E indique a substituição linear utilizada.

Passo 1

Aqui queremos achar a equação da quádrica numa base em que não apareçam os termos mistos,e além disso dizer como as variáveis x 2 , y 2 se relacionam com x 1 , y 1   . Pra isso precisamos achar a base para a qual passamos quando fazemos a diagonalização da matriz.

Passo 2

Temos que:

q C a n = 0 1 2 1 2 0

Calculando os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = - λ 1 2 1 2 - λ = 0

λ 2 - 1 4 = 0

λ 1 = 1 2 λ 2 = - 1 2

Logo uma equação reduzida é:

1 2 x 2 - 1 2 y 2 = 1

Passo 3

Agora os autovetores:

λ = 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 x y = 0 0

1 2 x + 1 2 y = 0 ⇒ x = - y

x 2 + x 2 = 1 ⇒ x = 2 2

Logo o autovetor de norma 1   associado é e 1 = 2 2 , - 2 2

λ = - 1 2

- 1 2 1 2 1 2 - 1 2 x y = 0 0

- 1 2 x + 1 2 y = 0 ⇒ x = y

x 2 + x 2 = 1 ⇒ x = 2 2

Logo o autovetor de norma 1   associado é e 2 = 2 2 , 2 2

A base de autovetores é então B = 2 2 , - 2 2 , 2 2 , 2 2

As substituições lineares que foram pedidos não são nada mais do que expressar os vtores de B   em termos dos vetores de C a n

x 2 = 2 2 x 1 - 2 2 y 1

y 2 = 2 2 x 1 + 2 2 y 1

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