Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Considere em R 3 o < , > usual. Observe a quádrica cuja equação na base canônica α é:

2 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 - 6 x z + 2 x + 10 y + 2 z + 4 = 0

Determine outra base β que diagonalize a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quádrica em relação a esta base β , e identifique a quádrica.

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é escrever isso aí na forma matricial:

2 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 - 6 x z + 2 x + 10 y + 2 z + 4 = 0

x y z 2 0 - 3 0 5 0 - 3 0 2 x y z + 2 10 2 x y z + 4 = 0

Agora vou achar os autovalores da matriz   2 0 - 3 0 5 0 - 3 0 2 para que eu possa diagonalizá-la:

P λ = det ⁡ A - λ I = 2 - λ 0 - 3 0 5 - λ 0 - 3 0 2 - λ = 0

P λ = 2 - λ 2 5 - λ - 9 5 - λ = 0

P λ = 5 - λ 2 - λ 2 - 9 = 0

P λ = 5 - λ 4 - 4 λ + λ 2 - 9 = 5 - λ λ 2 - 4 λ - 5 = 0

Calculando as raízes, acho λ = 5 ou λ = - 1 .

Passo 2

Agora vamos achar os autoespaços:

2 0 - 3 0 5 0 - 3 0 2 x y z = 5 x y z

2 x - 3 z = 5 x 5 y = 5 y - 3 x + 2 z = 5 z ⟹ z = - x

x , y , z = x , y , - x = x 1,0 , - 1 + y ( 0,1 , 0 )

V λ = - 1 = 1,0 , - 1 , ( 0,1 , 0 )

Agora o outro autovalor:

2 0 - 3 0 5 0 - 3 0 2 x y z = - x y z

2 x - 3 z = - x 5 y = - y - 3 x + 2 z = - z ⟹ y = 0   e   x = z

x , y , z = z , 0 , z = z 1,0 , 1

Temos então, uma base de R 3 formada por autovetores:

γ = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0 , ( 1,0 , 1 )

Reparem que essa base também é ortogonal, então fica fácil de eu achar uma base β ortonormal, normalizando os vetores:

β = 1 2 , 0 , - 1 2 , 0,1 , 0 , 1 2 , 0 , 1 2

Passo 3

Vamos montar a forma matricial de novo, sendo agora v β = u v w :

u v w 5 0 0 0 5 0 0 0 - 1 u v w + 2 10 2 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2 u v w + 4 = 0

u v w 5 0 0 0 5 0 0 0 - 1 u v w + 0 10 2 u v w + 4 = 0

Temos então, voltando para a forma de equação:

5 u 2 + 5 v 2 - w 2 + 10 v + 2 w + 4 = 0

Passo 4

Agora vamos achar a forma reduzida e classificar:

5 u 2 + 5 ( v 2 + 2 v ) - ( w 2 - 2 w ) + 4 = 0

Sei que v + 1 2 = v 2 + 2 v + 1 , então posso substituir ( v 2 + 2 v ) = v + 1 2 - 1 . Assim como, w - 1 2 = w 2 - 2 w + 1 que posso substituir dessa forma ( w 2 - 2 w ) = w - 1 2 - 1 :

5 u 2 + 5 ( v + 1 2 - 1 ) - ( w - 1 2 - 1 ) + 4 = 0

5 u 2 + 5 v + 1 2 - w - 1 2 - 5 + 1 + 4 = 0

5 u 2 + 5 v + 1 2 - w - 1 2 = 0

Essa quádrica é um cone!

Resposta

β = 1 2 , 0 , - 1 2 , 0,1 , 0 , 1 2 , 0 , 1 2

5 u 2 + 5 v + 1 2 - w - 1 2 = 0

É um cone!

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