Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

a) Considere em R 4 o < , > usual. Classifique a quádrica Ω cuja equação numa base β ortonormal diferente da canônica é dada por

- u 2 - v 2 + 3 w 2 + 6 w + 4 = 0

b) Encontre a equação desta Ω numa base canônica α sabendo que

I α β = 1 0 0 0 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2

Passo 1

a) Para achar uma forma mais fácil de classificar a equação, vamos completar os quadrados em w :

- u 2 - v 2 + 3 w 2 + 6 w + 4 = 0

- u 2 - v 2 + 3 w 2 + 2 w + 4 = 0

Como w 2 + 2 w + 1 = w + 1 2 , vou substituir w 2 + 2 w por w + 1 2 - 1 :

- u 2 - v 2 + 3 w + 1 2 - 1 + 4 = 0

- u 2 - v 2 + 3 w + 1 2 - 3 + 4 = 0

- u 2 - v 2 + 3 w + 1 2 + 1 = 0

Agora, só organizando:

u 2 + v 2 - 3 w + 1 2 = 1

Isso descreve um hiperbolóide de uma folha!

Passo 2

b) Consigo achar os vetores v α a partir dos vetores v β com essa matriz mudança de base que ele me deu, dessa forma:

v β = u v w = I β α v α

Primeiro, vamos escrever aquela equação na forma matricial:

- u 2 - v 2 + 3 w 3 + 6 w + 4 = 0

u v w - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 3 u v w + 0 0 6 u v w + 4 = 0

Agora vou substituir todos os vetores v β por I β α v α   e chamar - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 3 de T β β :

I β α v α T T β β I β α v α + 0 0 6 I β α v α + 4 = 0

Obs: Como ambos α e β são ortonormais como o enunciado disse, a matriz I α β é ortogonal! Quando isso acontece, temos:

I α β = I β α - 1 = I β α T

E como T α α = I α β T β β I β α , continuando o desenvolvimento vamos ter:

I β α v α T = v α T I β α T

v α T I β α T T β β I β α ⏟ T α α v α + 0 0 6 I β α v α + 4 = 0

Passo 3

Vamos achar v α T T α α v α + 0 0 6 I β α v α + 4 = 0 , primeiro calculando T α α ,   com T α α = I α β T β β I β α :

1 0 0 0 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 3 1 0 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2

- 1 0 0 0 - 1 2 3 2 0 1 2 3 2 1 0 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2

- 1 0 0 0 1 2 0 2 1

Substituindo na formula e chamando   v α T = x y z , temos:

x y z - 1 0 0 0 1 2 0 2 1 x y z + 0 0 6 1 0 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 x y z + 4 = 0

x y z - 1 0 0 0 1 2 0 2 1 x y z + 0 6 2 6 2 x y z + 4 = 0

Então tenho a seguinte equação:

- x 2 + y 2 + z 2 + 4 y z + 6 2 y + 6 2 z + 4 = 0

Resposta

  1. Hiperbolóide de uma folha
  2. - x 2 + y 2 + z 2 + 4 y z + 6 2 y + 6 2 z + 4 = 0

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