Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Ache a equação canônica de:

x 2 + y ² - 2 x y + x = 1

Passo 1

Agora nós estamos lidando com um termo linear, portanto devemos fazer todo o esquema da teoria. O jeito de resolver você já tem direitinho, agora troca os valores e se faz de computadorzinho.

Passo 2

Temos que:

q C a n = 1 - 1 - 1 1

Calculando os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = 1 - λ - 1 - 1 1 - λ = 0

λ 2 - 2 λ + 1 - 1 = 0

λ 1 = 0 , λ 2 = 2

Passo 3

Agora os autovetores:

λ = 0

1 - 1 - 1 1 x y = 0 0

x - y = 0 ⇒ x = y

x 2 + x 2 = 1 ⇒ x = 2 2

Logo o autovetor de norma 1   associado é e 1 = 2 2 , 2 2

λ = 2

- 1 - 1 - 1 - 1 x y = 0 0

- x - y = 0 ⇒ x = - y

x 2 + x 2 = 1 ⇒ x = 2 2

Logo o autovetor de norma 1   associado é e 2 = 2 2 , - 2 2

A base de autovetores é então B = 2 2 , 2 2 , 2 2 , - 2 2

Passo 4

Achamos a matriz de mudança de base:

I d C a n ← B = 2 2 2 2 2 2 - 2 2

E temos que

x 1 = 1 0 x 1 y 1

x 1 y 1 = 2 2 2 2 2 2 - 2 2 x 2 y 2

x 1 = 1 0 2 2 2 2 2 2 - 2 2 x 2 y 2 = 2 2 2 2 x 2 y 2 = 2 2 x 2 + 2 2 y 2

Logo a equação após a rotação é:

2 y 2 + 2 2 x + 2 2 y = 1

Passo 5

Completando os quadrados:

2 y 2 + 2 2 y + 1 16 + 2 2 x = 17 16

2 y + 1 4 2 + 2 2 x = 17 16

2 y + 2 8 2 + 2 2 x = 17 16

Fazendo x 3 = x 2 e y 3 = y 2 + 2 8 , chegamos finalmente em:

2 y 2 + 2 2 x = 17 16

Resposta

2 y 2 + 2 2 x = 17 16

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