Exercícios Resolvidos de Relatividade do Tempo

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 178.

Um astronauta parte da Terra e viaja com velocidade de 0,99 c em direção à estrela Vega, que está a 26   a n o s - l u z de distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, a quando o astronauta chegar a Vega; b quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega? c Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

Passo 1

a Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando o astronauta chegar a Vega?

Δ t = L u = ( 26   a n o s - l u z ) 0,99 c

Podemos escrever a velocidade da luz em anos-luz/ano. Basta lembrar que a luz viaja 1 ano-luz em 1 ano, ou seja, c = 1   a n o - l u z / a n o . Assim:

Δ t = 26 0,99.1 = 26,26   a n o s

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Passo 2

b Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega?

O tempo total será igual à soma do tempo levado pelo astronauta para chegar à estrela com o tempo levado para o sinal chegar à Terra.

Se o sinal viaja na velocidade da luz e a estrela está à 26   a n o s - l u z de distância, o sinal levará 26   a n o s para chegar na Terra, logo:

Δ t = 26,26 + 26 = 52,26   a n o s

Passo 3

c Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

O tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra foi o que calculamos no item a , logo:

Δ t = 26,26   a n o s

O tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo é o tempo próprio, e podemos calculá-lo através da equação de dilatação do tempo:

Δ t = γ Δ t 0 → Δ t 0 = Δ t γ

Assim, a diferença entre os tempos será:

Δ t - Δ t 0 = Δ t 1 - 1 γ

Δ t - Δ t 0 = Δ t 1 - 1 - u c 2

Substituindo os valores, teremos:

Δ t - Δ t 0 = 26,26 1 - 1 - 0,99 c c 2

Δ t - Δ t 0 = 22,55   a n o s

Resposta

a

Δ t = 26,26   a n o s

b

Δ t = 52,26   a n o s

c

Δ t - Δ t 0 = 22,55   a n o s

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