Exercícios Resolvidos de Relatividade do Tempo

Uma lanterna está em repouso no sistema inercial S ' que se move com velocidade v → = 4 c / 5 i ^ em relação a um outro sistema inercial S . Em um determinado instante, um pulso de luz é emitido pela lanterna e propaga-se paralelamente ao eixo O ' y ' até ser refletido por um espelho paralelo ao plano x ' z ' , retornando à lanterna. A distância entre a lanterna e o espelho é h = 9 m , conforme a figura.

  1. Qual o intervalo de tempo medido em S ' entre a emissão e o retorno do pulso luminoso?
  2. Qual a distância percorrida pela lanterna durante estes dois eventos (emissão e retorno do pulso), medida no referencial S ?

Passo 1

Temos que o referencial S ' é o referencial em repouso à lanterna, assim o tempo medido nesse referencial será o tempo próprio. Como a distância percorrida pela luz é 2 h e a velocidade da luz é c = 3 . 10 8 , temos

Δ t s ' = Δ t 0 = 2 h c = 2.9 3 . 10 8 = 6 . 10 - 8 s

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Passo 2

Já sabemos a velocidade da lanterna em relação ao referencial S ( 4 c / 5 ). Para obter a distância percorrida pela lanterna no referencial S basta multiplicar essa velocidade pelo intervalo de tempo entre a emissão e retorno do pulso medido pelo referencial S .

O pulo do gato agora é ver que, como o referencial S não está em repouso em relação à lanterna, que o intervalo de tempo medido neste referencial será dilatado e se relaciona com o tempo próprio (do referencial S ) por

Δ t S = Δ t S ' 1 - v 2 c 2 =   6 . 10 - 8 1 - ( 4 c / 5 ) 2 c 2 = 1 . 10 - 7 s

Repare que Δ t S > Δ t S ' (como tinha que ser)

Passo 3

Agora já estamos na cara do gol! A distância percorrida pela lanterna no referencial S será

Δ x = v Δ t S = 4.3 . 10 8 5 1 . 10 - 7 = 24 m

Resposta

  1. 6 . 10 - 8 s
  2. 24   m

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