Exercícios Resolvidos de Teorema dos Eixos Paralelos

Calcule, por integração direta, o momento de inércia de um bastão de massa M e comprimento L em torno de um eixo que passa a uma distância d de uma de suas extremidades. Compare o seu resultado com tabelas de momentos de inércia para os casos particulares d=0 e d=L/2.

Passo 1

Beleza, pediu pra integrar, a gente integra... sem problemas!

Bom, primeiro passo é a gente desenhar um bastão de massa M e comprimento L, com o eixo a partir de uma de suas extremidades. Nesse bastão, vamos pegar um pedaço bem pequeno, finidesimal de massa dM e de largura dl.

Okay, agora vamos lembrar da fórmula do momento de inércia com integral:

I = ∫ r 2 d M

E os intervalos de integração? Temos que ver como essa distância r pode variar. A esquerda do eixo, ela pode valer no máximo a distância d, e a direita do eixo, o seu valor máximo será igual a largura total da barra menos a distância d.

I = ∫ - d L - d r 2 d M

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado se omite quanto a isso, mas iremos considerar a barra homogênea! Com isso podemos dizer que a relação entre um pedaço de massa com um pedaço de largura é a mesma entre a massa total e a largura total:

d M d l = M L

d M = M L . d l

Substituindo teremos:

I = ∫ - d L - d r 2 M L d l

I = M L ∫ - d L - d r 2 d l

I = M L r 3 3 L - d - d

I = M 3 L   . L - d 3 - - d 3

I = M 3 L . L 3 - 3 L 2 d + 3 L d 2 - d 3 - - d 3

I = M 3 L . L 3 - 3 L 2 d + 3 L d 2

I = M 3 [ L 2 - 3 L d + 3 d 2 ]

Passo 3

Beleza, finalmente encontramos o valor desse momento de inércia, agora vamos comparar com alguns valores tabelados, para ver se fizemos a conta certa, né.

Utilizando d=0, temos o caso do momento de inércia de uma barra ao redor do eixo que passa pela sua extremidade.

Utilizando a expressão que encontramos, teremos

I = M L 2 3

Que é igual ao valor da tabela!

Utilizando d=L/2, temos o caso do momento de inércia de uma barra ao redor do eixo que passa pelo seu centro de massa.

Utilizando a nossa expressão, teremos:

I = M L 2 3 - M L * L 2 + M L 2 2

I = M L 2 3 - M L 2 2 + M L 2 4 = 4 - 6 + 3 M L 2 12

I = M L 2 12

Que também é o valor tabelado! Ufa, parece que deu tudo certo!

Resposta

I = M 3 [ L 2 - 3 L d + 3 d 2 ]

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