Exercícios Resolvidos de Teorema dos Eixos Paralelos

Origem do Exercício

Um disco metálico homogêneo de raio a tem um furo circular de raio a / 2 conforme a figura abaixo.

Três eixos paralelos entre si e perpendiculares ao disco passam pelos pontos A , B e C da figura. A posição do centro de massa é representada por um X na figura.

Os momentos de inércia do objeto em relação a cada um desses eixos são, respectivamente, I A , I B e I C .

Determine a alternativa correta:

  1. I A > I B > I C ;
  2. I A > I C > I B ;
  3. I B > I C > I A ;
  4. I B > I A > I C ;
  5. I C > I A > I B ;
  6. I C > I B > I A .

Passo 1

Bem, dada a beleza contemporânea desse disco, se tem algo que eu NÃO quero fazer é ter que calcular o momento de inércia dele em relação a A , B e C . Bem, realmente ele não pede isso em nenhum lugar.

Todas as respostas estão comparando os momentos de inércia! Bem, isso dá pra gente fazer. Vamos usar o teorema dos eixos paralelos.

Esse teorema nos diz que, sendo I C M o momento de inércia com relação a um eixo que atravessa o centro de massa do corpo, o momento de inércia com com relação a um eixo paralelo a esse e que passe por um ponto X qualquer vai ser:

I X = I C M + M d 2

Onde d é a distância entre os dois eixos.

Isso significa que podemos comparar I A , I B e I C usando a distância deles até o centro de massa!

I A = I C M + M d A 2

I B = I C M + M d B 2

I C = I C M + M d C 2

O momento de inércia varia diretamente com a distância do ponto até o centro de massa. Além disso, comparando os três, eles só serão diferentes nessa distância.

Nesse caso, pela figura, temos que d C > d A > d B , onde a distância d C é maior que a distância d A devido ao fato de o centro de massa ser ligeiramente deslocado em direção a A .

Assim teremos:

I C > I A > I B

Que corresponde à letra (e)

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Resposta

Letra (e)

e )     I C > I A > I B

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