Exercícios Resolvidos de Teorema dos Eixos Paralelos

Corpos Rígidos

Na figura abaixo são dadas duas esferas de igual massa M e igual raio R , porém a da esquerda é maciça (cheia) e homogênea e a esfera da direita é oca (sua massa está toda numa casca esférica de espessura desprezível).

A primeira esfera é posta para girar ao redor de um eixo deslocado de uma distância d   em relação a um de seus diâmetros. É possível, nestas condições, a segunda esfera apresentar um momento de inércia de valor aproximadamente igual ao da primeira?

a ) Não, a esfera cheia apresenta maior momento de inércia que a oca já no caso d = 0 , e deslocar o eixo para longe do centro de massa só iria aumentar seu momento de inércia.

b ) Sim, mas só quando d = 0

c ) Sim, mas só quando d ≈ R 10

d ) Sim, mas só quando d ≈ R 3

e ) Sim, mas só quando d ≈ R 2

Passo 1

Para achar qual valor de d poderá fazer com que os momentos de inércia tenham o mesmo valos, vamos calculá-lo:

Para a esfera oca, temos:

I o c a = 2 . M . R 2 3

Para a esfera maciça, temos:

I m a c i ç a = 2 . M . R 2 5

Ué, mas onde entra a mudança de eixo? Calma, se liga no próximo passo onde iremos usar o teorema dos eixos paralelos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos o momento de inércia da esfera maciça, podemos calcular o momento de inérica com o eixo deslocado!

I ' m a c i ç a = I m a c i ç a + M . d 2

I ' m a c i ç a = 2 . M . R 2 5 + M . d 2

Agora podemos comparar I o c a com I ' m a c i ç a !

Passo 3

Vamos igualar os dois momentos de inérica para achar um valor de d   que faça com que os valores sejam iguais, ou parecidos!

I o c a = I ' m a c i ç a

2 . M . R 2 3 = 2 . M . R 2 5 + M . d 2

Isolando d , temos:

d 2 = 4 15 . R 2

d ≈ 0,52 . R

Resposta

e) Sim, mas só quando d ≈ R 2

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