Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P4-2017.1, Questão 6

Calcule a dimensão do complemento ortogonal da imagem da matriz 1 0 1 1 1 1 0 1 0 - 1 1 0 2 1 1 2 1 - 1 2 1 :

  1. 2
  2. 1
  3. 0
  4. 3

Passo 1

Como a imagem da matriz pertence ao R 4 , a soma da dimensão da imagem com a dimensão do seu complemento deve ser 4! Então vamos achar a dimensão da imagem da matriz.

Lembrando que o número de linhas e colunas L I é igual, não precisamos transpor para achar quantos vetores das colunas formam um conjunto L I ,   ou seja, uma base para a imagem. Basta escalonarmos do jeito que ela está e vermos quantas linhas não nulas restam.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escalonar:

1 0 1 1 1 1 0 1 0 - 1 1 0 2 1 1 2 1 - 1 2 1 → L 3 → L 3 - L 1 L 4 → L 4 - L 1 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 - 1 1 0 2 1 - 1 0 1 - 1 1 0 → L 3 → L 3 + L 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 - 1 0 0 2 1 0 0 1 - 1 0 0

Opa, então dim ⁡ ( I m A ) = 2 :

dim ⁡ I m A + dim ⁡ ( I m A ⊥ ) = 4

dim ⁡ ( I m A ⊥ ) = 2

Resposta

a

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