Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

UFRJ, P3-2019.1

Calcule um vetor que pertence ao complemento ortogonal do conjunto G = 1 ,   - 1 ,   - 1 , - 1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 ,   3 ,   1 ,   1 ,   - 3  

  1. 1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   - 1
  2. - 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0
  3. - 1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   1
  4. 1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2

Passo 1

Belezera meus amores, se um vetor é complemento ortogonal de G = 1 ,   - 1 ,   - 1 , - 1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 ,   3 ,   1 ,   1 ,   - 3 , quer dizer que ele é ortogonal a cada um dos vetores dessa base de G . E a condição para ser um vetor ser ortogonal a outro, é que o produto interno entre eles tem que ser igual a 0 . Portanto se a gente fizer o produto interno do vetor com os vetores da base de G e der 0 , então encontraremos nosso vetor abençoado!! Cola aqui comigo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (a), temos o vetor 1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   - 1 . Se a gente fizer produto interno entre ele o primeiro vetor da base de G , temos que:

1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = 1 2 1 + - 1 - 5 2 - 1 + 1

1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = 1 2 + 5 2

1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = 3

E logo de cara, nosso vetor já não era ortogonal. Portanto esse aqui não pode ser nosso complemento ortogonal. Next!

Passo 3

Já na letra (b), temos o vetor - 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 , e fazendo o produto interno dele com o primeiro vetor da base de G , temos:

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = - 1 2 1 + - 1 - 3 2 - 1 + 0

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = - 1 2 + 3 2 - 1

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = 0

Testando então para o segundo vetor, temos:

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 = - 1 2 1 + 1 - 3 2 + 2 + 0

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 = - 1 2 - 3 2 + 2

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 = 0

E para o último vetor, temos:

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 , 3 ,   1 ,   1 ,   - 3 = - 1 2 3 + 1 - 3 2 + 1 + 0

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 , 3 ,   1 ,   1 ,   - 3 = - 1 2 - 3 2 + 1

- 1 2 ,   - 3 2 ,   1 ,   0 , 3 ,   1 ,   1 ,   - 3 = - 1

Portanto, esse também não é nosso comtemplado!

Passo 4

Agora para o vetor - 1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   1   da letra (c), temos que:

- 1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = - 1 2 1 + - 1 - 5 2 - 1 - 1

- 1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = 1 2 + 5 2 - 2

- 1 2 ,   - 5 2 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = 1

Logo, esse também não é nosso vetor.

Passo 5

E por fim, nosso ultimo vetor 1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 , temos:

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = 1 2 1 + - 1 1 + 1 + - 1 1 2

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = - 1 2 + 1 2

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 = 0

Testando então para o segundo vetor, temos:

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 = 1 2 1 + 1 - 2 + 1 2

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 = 1 2 + 1 2 - 1

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 = 0

E para o último vetor, temos:

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 , 3 ,   1 ,   1 ,   - 3 = 1 2 3 + 1 - 1 + - 3 1 2

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 , 3 ,   1 ,   1 ,   - 3 = 3 2 - 3 2

1 2 ,   1 ,   - 1 , 1 2 , 3 ,   1 ,   1 ,   - 3 = 0

Logo, nossa resposta certa é a letra (d)

Resposta

Letra (d).

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