Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

À questão “Calcule as coordenadas do vetor v = ( 1,1 , 1 ) na base ortogonal

δ = v 1 = 1,0 , 0 ,   v 2 = 0,1 , 1 , v 3 = 0,1 , - 1

De R 3 .” Joãozinho respondeu:

a   Joãozinho está errado, pois v ≠ v 1 + 2 v 2 . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.

b   Enuncie a definição de complemento ortogonal de um subespaço vetorial H de R n .

Passo 1

Letra ( a )

Joãozinho considerou que a base era ortoNORMAL, pois se utilizou do fato de que qualquer vetor escrito como C L de uma base ortogonal pode ser escrito com os coeficientes da forma:

α i = v , v i v 1 2

E assim se a base é ortoNORMAL, fica:

α i = 〈 v , v i 〉

Pois para uma base ortoNORMAL v i = 1 . Portanto, faltou ele dividir cada coeficiente pela norma de cada vetor v i .

Passo 2

Letra ( b )

Basta trocar V por H e V ⊥ por H ⊥ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

21. Seja { w 1 , w 2 , … ,w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.
20. Seja { v 1 ,v 2 ,… , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.
Seja A x = 0 um sistema de m equações e n incógnitas. Mostre que x = x 1 x 2 ⋮ x n É uma solução do sistema se, e só se, o vetor x =( x 1 , x 2 , … , x n ) é ortogonal a cada vetor linha de A em relaç
18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u 1 e u 2 , então w é ortogonal a k 1 u 1 + k 2 u 2 , quaiquer que sejam os escalares k 1 e k 2 . Interprete esse result
19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.