Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Produto Interno e Complemento Ortogonal

À questão “Calcule as coordenadas do vetor v = ( 1,1 , 1 ) na base ortogonal

δ = v 1 = 1,0 , 0 ,   v 2 = 0,1 , 1 , v 3 = 0,1 , - 1

De R 3 .” Joãozinho respondeu:

a   Joãozinho está errado, pois v ≠ v 1 + 2 v 2 . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.

b   Enuncie a definição de complemento ortogonal de um subespaço vetorial H de R n .

Passo 1

Letra ( a )

Joãozinho considerou que a base era ortoNORMAL, pois se utilizou do fato de que qualquer vetor escrito como C L de uma base ortogonal pode ser escrito com os coeficientes da forma:

α i = v , v i v 1 2

E assim se a base é ortoNORMAL, fica:

α i = 〈 v , v i 〉

Pois para uma base ortoNORMAL v i = 1 . Portanto, faltou ele dividir cada coeficiente pela norma de cada vetor v i .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra ( b )

Basta trocar V por H e V ⊥ por H ⊥ .

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