Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Projeção e Reflexão Ortogonal e Mínimos Quadrados

À questão “Seja H = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1 ⊂ R 3 . Calcule a projeção ortogonal de ( 1,0 , 0 ) em H .”, Bruninha deu a seguinte solução:

( b ) Mostre que 1,0 , 0 ∉ H ⊥ . Explique por que Bruninha não deveria esperar que seu cálculo de P H ( 1,0 , 0 ) resultasse no vetor nulo (e portanto sua solução está errada).

Passo 1

Existem vários jeitos de mostrar a primeira parte da pergunta. Um dos jeitos de ver é calcular o complemento ortogonal na marra, e verificar que ( 1 , 0,0 ) não está nele. No caso, Bruninha calculou certo o H ⊥ , então é só ver que esses vetores não são múltiplos.

Outro jeito é perceber que o produto interno entre o vetor ( 1 , 0,0 ) e o primeiro vetor que gera H , isto é, ( 1,1 , 0 ) , não é nulo: 1,0 , 0 , 1,1 , 0 = 1 ≠ 0 . Se esse vetor pertencesse ao complemento ortogonal de H , teria que ser ortogonal a todos os vetores de H . E é só lembrar que dois vetores são ortogonais quando o produto interno deles dá zero. E vimos que isso não acontece!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Não deveria esperar que resultasse no vetor nulo porque, para isso, o vetor deveria pertencer ao complemento ortogonal de H , que ela já havia calculado. E como neste caso o complemento ortogonal é gerado por apenas um vetor, então é fácil verificar que 1,0 , 0 ∉ H ⊥ . E, assim, a projeção ortogonal sobre H não pode dar zero, pois isso só ocorre com os elementos do complemento ortogonal do espaço no qual está sendo projetado.

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