Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Seja H ∈ R 4 o espaço gerado por 1,1 , 1,4 , ( 0,1 , 0,1 ) e 0,0 , 1,1 .   Se ( x , y , z , 1 ) pertence ao complemento ortogonal de H , então x vale:

(a) -2

(b) -3

(c) -4

(d) -5

Passo 1

Se ( x , y , z , 1 ) pertence ao complemento ortogonal de H , então pela definição, esse vetor é ortogonal a todos os vetores de H.

Em particular, ele vai ser ortogonal aos vetores da base de H.

Logo, o produto interno de ( x , y , z , 1 ) com cada um dos vetores de uma base de H vai ser 0.

E repara que os 3 vetores geradores de H são LI, logo eles formam uma base para H.

α = { 1,1 , 1,4 ,   0,1 , 0,1 ,   0,0 , 1,1 }

Passo 2

Vamos então fazer o produto interno do vetor x , y , z , 1 com cada vetor da base α .

x , y , z , 1 , 1,1 , 1,4 = 0 ⇒ x + y + z + 4 = 0

x , y , z , 1 , 0,1 , 0,1 = 0 ⇒ y + 1 = 0

x , y , z , 1 , 0,0 , 1,1 = 0 ⇒ z + 1 = 0

Pela segunda equação:

y = - 1

E pela terceira:

z = - 1

Substituindo esses dois valores na primeira equação, já conseguimos achar o valor de x:

x - 1 - 1 + 4 = 0

x + 2 = 0

x = - 2

Resposta

(a) -2

Exercícios de Livros Relacionados

21. Seja { w 1 , w 2 , … ,w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.
20. Seja { v 1 ,v 2 ,… , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.
Seja A x = 0 um sistema de m equações e n incógnitas. Mostre que x = x 1 x 2 ⋮ x n É uma solução do sistema se, e só se, o vetor x =( x 1 , x 2 , … , x n ) é ortogonal a cada vetor linha de A em relaç
18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u 1 e u 2 , então w é ortogonal a k 1 u 1 + k 2 u 2 , quaiquer que sejam os escalares k 1 e k 2 . Interprete esse result
19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.