Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.2, Questão 03

Se v ^ é um vetor unitário ortogonal ao espaço gerado pelos vetores 1,1 , 1,1 , 1,0 , - 2,0 e 0,1 , 0 , - 2 , a soma dos módulos das components de v ^ é:

(a) 5 2

(b) 5 10 3

(c ) 3 2

(d) 3 10 5

Passo 1

Bom, queremos achar o gerador unitário do complemento ortogonal a esse espaço, vou botar os vetores nas linhas e achar o núcleo:

1 1 0 1 0 1 1 - 2 0 1 0 - 2 0 0 0 → L 2 → L 2 - L 1 1 0 0 1 - 1 1 1 - 3 0 1 - 1 - 2 0 0 0 → L 3 → L 3 + L 2 1 0 0 1 - 1 0 1 - 3 - 3 1 - 1 - 3 0 0 0

Voltando para a forma de equações:

x + y + z + w = 0 ⟹ x = - 2 w - y - 3 z - w = 0 ⟹ y = 2 w - 3 z - 3 w = 0 ⟹ z = - w

Temos então que x , y , z , w = - 2 w , 2 w , - w , w = w ( - 2,2 , - 1,1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Queremos agora o vetor unitário nessa direção, vamos normalizar:

- 2,2 , - 1,1 ( - 2 ) 2 + 2 2 + - 1 2 + 1 2 = - 2,2 , - 1,1 10

Agora é só somar os módulos das componentes:

2 10 + 2 10 + 1 10 + 1 10 = 6 10 = 6 10   10 = 3 10   5

Resposta

d

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