Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

A3 T4

Considere o conjunto de polinômios de grau 2 , P 2 , dotado do produto interno p , q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 . Seja S = 〈 x 2 〉 . Assinale o conjunto que não está completamente contido em S ⊥ .

a   x 2 - 1,2 x 2 + 3 x + 2 , x

b   x 2 - 1,8 x , 2 x 2 - 3 x - 2

c   3 x 2 - 3 x - 3,5 x , x 2 - 1

d   2 x 2 - 2,0 , x 2 + 2 x - 1

Passo 1

O conjunto S ⊥ é aquele em que todos os polinômios são ortogonais à x 2 . Logo, será aquele conjunto em que o produto interno entre todos os polinômios e x 2 vale 0 ! Então não tem jeito, vamos testar letra por letra:

p x = x 2 :

p - 1 = - 1 2 = 1

p 0 = 0 2 = 0

p 1 = 1 2 = 1

Letra a

q x = x 2 - 1 :

q - 1 = - 1 2 - 1 = 0

q 0 = 0 2 - 1 = - 1

q 1 = 1 2 - 1 = 0

p , q = 1 ∙ 0 + 0 ∙ - 1 + 1 ∙ 0 = 0

q x = 2 x 2 + 3 x + 2 :

q - 1 = 2 - 1 2 + 3 - 1 + 2 = 1

q 0 = 2 0 2 + 3 0 + 2 = 2

q 1 = 2 1 2 + 3 1 + 2 = 7

p , q = 1 ∙ 1 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 7 = 8 ≠ 0

Opa, o polinômio 2 x 2 + 3 x + 2 não é ortogonal à x 2 pelo produto interno dado! Logo, a letra a não está completamente contida em S ⊥ .

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Resposta

Letra ( a )

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