Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Produto Interno e Complemento ortogonal

  ( d ) Seja H = s p a n 1,1 , 0 , 0,1 , 1 , exiba um vetor w ∈ H ⊥ que satisfaça w = 2048 .

Passo 1

Como primeiro temos que calcular o complemento ortogonal, vamos fazer:

1,1 , 0 , x , y , z = 0

0,1 , 1 , x , y , z = 0

Montando o sistema:

x + y = 0 ⇒ x - z = 0 ⇒ x = z y + z = 0 ⇒ y = - z

Assim o complemento ortogonal é:

z , - z , z = z ( 1 , - 1,1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, vamos ver a norma de ( 1 , - 1,1 ) :

( 1 , - 1,1 ) = 1 + 1 + 1 = 3

Obviamente, a norma desse vetor não é 2048 . Para fazer dar 2048 , vamos normalizar o vetor e tornar sua norma 1 para ficar mais fácil de trabalhar.

1 3 ( 1 , - 1,1 )

Agora basta multiplicar, pelo escalar real 2048 :

w = 2048 3 1 , - 1,1 = 2048 3 , -   2048 3 ,   2048 3

Repare que agora a norma do nosso vetor é exatamente 2048 !

Repare, também, que apenas multiplicamos por escalares reais! Não alteramos direção alguma!

Resposta

w = 2048 3 ,   - 2048 3 ,   2048 3

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