Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

  ( d ) Seja H = s p a n 1,1 , 0 , 0,1 , 1 , exiba um vetor w ∈ H ⊥ que satisfaça w = 2048 .

Passo 1

Como primeiro temos que calcular o complemento ortogonal, vamos fazer:

1,1 , 0 , x , y , z = 0

0,1 , 1 , x , y , z = 0

Montando o sistema:

x + y = 0 ⇒ x - z = 0 ⇒ x = z y + z = 0 ⇒ y = - z

Assim o complemento ortogonal é:

z , - z , z = z ( 1 , - 1,1 )

Passo 2

Assim, vamos ver a norma de ( 1 , - 1,1 ) :

( 1 , - 1,1 ) = 1 + 1 + 1 = 3

Obviamente, a norma desse vetor não é 2048 . Para fazer dar 2048 , vamos normalizar o vetor e tornar sua norma 1 para ficar mais fácil de trabalhar.

1 3 ( 1 , - 1,1 )

Agora basta multiplicar, pelo escalar real 2048 :

w = 2048 3 1 , - 1,1 = 2048 3 , -   2048 3 ,   2048 3

Repare que agora a norma do nosso vetor é exatamente 2048 !

Repare, também, que apenas multiplicamos por escalares reais! Não alteramos direção alguma!

Resposta

w = 2048 3 ,   - 2048 3 ,   2048 3

Exercícios de Livros Relacionados

21. Seja { w 1 , w 2 , … ,w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.
20. Seja { v 1 ,v 2 ,… , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.
Seja A x = 0 um sistema de m equações e n incógnitas. Mostre que x = x 1 x 2 ⋮ x n É uma solução do sistema se, e só se, o vetor x =( x 1 , x 2 , … , x n ) é ortogonal a cada vetor linha de A em relaç
18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u 1 e u 2 , então w é ortogonal a k 1 u 1 + k 2 u 2 , quaiquer que sejam os escalares k 1 e k 2 . Interprete esse result
19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.