Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

UFPE, Álgebra Linear, 3 a EE -2017.2, Questão 1b

b) Considere no R 4 o < , >   usual. Determine uma base para seu subspaço W cujo complemento ortogonal é W ⊥ = 1,1 , 0 , - 1 , ( 0,1 , - 2 , - 1 )

Passo 1

Esse enunciado tentou confundir nossa cabeça mas somos mais espertos! Ele simplesmente ta pedindo para acharmos o complement ortogonal do espaço 1,1 , 0 , - 1 , ( 0,1 , - 2 , - 1 ) !

Os vetores desse complemento, ou seja, de W vão ter que ser ortogonais a esses dois vetores:

v = x , y , z , w

x , y , z , w , 1,1 , 0 , - 1 = 0 x , y , z , w , ( 0,1 , - 2 , - 1 ) = 0

x + y - w = 0 y - 2 z - w = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver esse sisteminha:

x + y - w = 0 y - 2 z - w = 0

Da segunda equação, temos y = w + 2 z , substituindo isso na primeira, achamos x = - 2 z . Substituindo, nosso vetor vai ficar:

v = x , y , z , w = - 2 z , w + 2 z , z , w = z - 2,2 , 1,0 + w ( 0,1 , 0,1 )

Achamos dois vetores que geram o espaço que queríamos e formam um conjunto L I . Assim, temos uma base de W .

β = - 2,2 , 1,0 , ( 0,1 , 0,1 )

Resposta

β = - 2,2 , 1,0 , ( 0,1 , 0,1 )

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