Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

A2 T6 A3 T8

Considere o espaço M 2 × 2 com o seu produto interno usual:

a 1 b 1 c 1 d 1 , a 2 b 2 c 2 d 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2

Seja W = 1 1 0 1 , 0 - 1 1 - 1 um subespaço de M 2 × 2 .

a Determine uma base para W ⊥ , o complemento ortogonal de W .

Passo 1

Sabemos que W ⊥ é formado pelas matrizes ortogonais às de W . Então para achar W ⊥ basta resolvermos:

a b c d , 1 1 0 1 = a + b + d = 0 ⇒ a = - b - d a b c d , 0 - 1 1 - 1 = - b + c - d = 0 ⇒ c = b + d

Então a matriz genérica de W ⊥ é:

- b - d b b + d d = b - 1 1 1 0 + d - 1 0 1 1

Pronto, achamos uma base para W ⊥ :

β = - 1 1 1 0 , - 1 0 1 1

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Resposta

β = - 1 1 1 0 , - 1 0 1 1

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