Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

A3 T8

Considere no espaço vetorial P 2 (isto é, os polinômios de grau ≤ 2 ) o produto interno dado por p , q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 . O complemento ortogonal de x + 1 , x - 1 é:

a   O espaço gerador por x 2 - 3 x

b   O espaço gerador por x 2 + 2 x

c   O espaço gerador por x 2 - 1

d   O espaço gerador por 3 x 2 - 2

Passo 1

O complemento ortogonal de x + 1 , x - 1 é um polinômio que seja ortogonal à x + 1   e x - 1 . Sendo assim, queremos que:

a x 2 + b x + c , x + 1 = a - b + c ∙ 0 + c ∙ 1 + a + b + c ∙ 2 = 0 a x 2 + b x + c , x - 1 = a - b + c ∙ - 2 + c ∙ - 1 + a + b + c ∙ 0 = 0

Temos então que:

2 a + 2 b + 3 c = 0 - 2 a + 2 b - 3 c = 0       I I I

Fazendo I + I I :

4 b = 0

b = 0

Substituindo em I :

2 a + 3 c = 0

a = - 3 c 2

Logo, nosso polinômio terá essa forma:

3 c x 2 - 2 c = c 3 x 2 - 2

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Resposta

Letra ( d )

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