Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

A3 T8

Seja S o conjunto de vetores da reta a x + b y = c , com a , b ≠ 0,0 e c ≠ 0 :

  1. S é o complemento ortogonal do espaço gerado pelo vetor a , b
  2. Os vetores de S são paralelos ao vetor a , b

( a ) I é verdadeira e I I é falsa

( b ) Ambas são falsas

( c ) I é falsa e I I é verdadeira

( d ) Ambas são verdadeiras

Passo 1

Primeira coisa, como ele fala de vetor a , b podemos assumir que estamos no R 2 .

Beleza!

O complemento ortogonal de uma reta é a reta ortogonal à ela certo? E pra achar essa reta é só pegarmos os coeficientes da reta e jogarmos num vetor, não é? Assim:

y = 2 x ⇒ 2 x - y = 0

Então o vetor perpendicular a essa reta será o 2 , - 1 . Então pra reta do enunciado:

a x + b y = c

Teremos que o vetor perpendicular é o a , b !

SÓ QUE NÃO!!!!!!

Tentaram fazer uma master pegadinha aqui. Essa história dos coeficientes só vale quando a reta ou o plano passam na origem (que é quase sempre o caso aqui em álgebra)! Ou seja, quando temos uma equação homogênea do tipo:

a x + b y = 0

A reta do enunciado tem uma constante c ≠ 0 do outro lado, então esse negócio de coeficientes não vale mais! Logo, a primeira alternativa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

II. Os vetores de S são paralelos ao vetor a , b

Os vetores de S são vetores que têm a direção da reta a x + b y = c .

Vamos ver quais vetores são esses.

Reescrevendo:

a x + b y = c

a x = c - b y

x = c a - b a y

Logo, os vetores vão ter coordenadas:

x , y = c a - b a y , y = c a , 0 + - b a , 1 y

E não são paralelos à a , b .

Por isso a afirmação II também é falsa.

Resposta

Letra ( b )

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