Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

02) Considere o espaço vetorial M 2 ( R ) munido do produto interno definido por:

a b c d ,   a ' b ' c ' d ' = a a ' + b b ' + c c ' + d d '

para quaisquer a b c d , a ' b ' c ' d ' ∈ M 2 R . Se S for o subespaço vetorial de M 2 ( R ) dado por:

S = a + b - c 2 a - c 5 a - 3 b - c - a - 3 b + 2 c   : a , b , c ∈ R

Então S ⊥ será igual a:

a) 0 - 3 1 - 1 ;

b) 3 - 4 1 0 ,   0 - 3 1 - 1 ,   3 1 1 2 ;

c) 3 - 4 1 0 ,   3 - 1 0 1 ;

d) 6 - 5 1 1 ;

e) 0 - 3 1 - 1 ,   3 1 1 2 .

Passo 1

Eaiiii gente, tudo bom com vocês?

Aqui temos uma questão bem interessante sobre complemento ortogonal. Basicamente, temos um produto interno definido no espaço vetorial M 2 ( R ) da seguinte forma:

a b c d ,   a ' b ' c ' d ' = a a ' + b b ' + c c ' + d d '

Dentro de M 2 ( R ) há um subespaço vetorial S composto pelas matrizes 2 × 2 da seguinte forma:

S = a + b - c 2 a - c 5 a - 3 b - c - a - 3 b + 2 c   : a , b , c ∈ R

O nosso objetivo é determinar o complemento ortogonal de S , ou seja, S ⊥ (lê-se “ S perp”). Tranquilo?!

Beleza! Mas, vocês lembram o que é o complemento ortogonal de um subespaço vetorial?

É um subespaço vetorial no qual todos os elementos são ortogonais a qualquer um dos elementos de S , sacaram?

Puts, mas é muito complicado pegar cada elemento de S ⊥ e testar se ele é ortogonal a cada um dos elementos de S , né?!

Verdade, isso seria impossível hahaha. É por isso que basta determinarmos uma base de S ⊥ que seja perpendicular à base de S , sacaram?

Show!

Passo 2

Então, antes de tudo, precisamos determinar uma base para S . Sabemos que, se M ∈ S , então:

M =   a + b - c 2 a - c 5 a - 3 b - c - a - 3 b + 2 c

Daí, pra descobrir base que gera esse subespaço devemos ir colocando as constantes em evidência e separando M como soma de matrizes. Assim:

M = a 2 a 5 a - a + b 0 - 3 b - 3 b + - 1 c - 1 c - 1 c 2 c

Colocando as constantes em evidência:

M = a 1 2 5 - 1 + b 1 0 - 3 - 3 + c - 1 - 1 - 1 2  

Ou seja, o conjunto:

1 2 5 - 1 , 1 0 - 3 - 3 , - 1 - 1 - 1 2    

gera o subespaço S , resta saber se essas matrizes são L I . Como podemos verificar isso?

Uma opção é supormos que um dos elementos é combinação linear dos outros, e verificar se é possível determinar os coeficientes dessa combinação. Caso seja possível, os vetores são L D . Tipo:

1 2 5 - 1 = x 1 0 - 3 - 3 + y - 1 - 1 - 1 2

⇒ 1 2 5 - 1 =     x - y - y - 3 x - y - 3 x + 2 y

Logo:

x - y = 1 - y = 2 - 3 x - y = 5 - 3 x + 2 y =   - 1

Daí, vemos que:

y =   - 2 x = - 1

É solução do sistema. Ou seja, o conjunto é L D . Portanto, a nossa verdadeira base de S é dada por:

B S = 1 0 - 3 - 3 , - 1 - 1 - 1 2

Boaa, perfeito!

Passo 3

Agora que já encontramos a base de S , precisamos determinar o subespaço S ⊥ . Como qualquer elemento desse subespaço é ortogonal às matrizes de B S , vamos supor que:

N = m n p q ,     N ∈ S ⊥

Assim, vale que:

m n p q , 1 0 - 3 - 3 = 0 m n p q , - 1 - 1 - 1 2 = 0

Muito bom! Como o produto interno nesse espaço vetorial é definido por:

a b c d ,   a ' b ' c ' d ' = a a ' + b b ' + c c ' + d d '

Vamos ter que:

m - 3 p - 3 q = 0         I - m - n - p + 2 q = 0         I I

De ( I ) vem que:

m = 3 p + 3 q

Substituindo em ( I I ) temos:

- 3 p - 3 q - n - p + 2 q = 0

∴ n =   - 4 p - q

Perfeito. Logo, a matriz N é dada por:

N = 3 p + 3 q - 4 p - q p q  

Agora é só a gente usar a mesma ideia que utilizamos pra descobrir a base de S . Como N representa um elemento genérico de S ⊥ , a base que gera N , também gera qualquer elemento de S ⊥ .

N = 3 p - 4 p p 0 + 3 q - q 0 q

Colocando p e q em evidência:

N = p 3 - 4 1 0 + q 3 - 1 0 1

Ou seja galera, quem são as matrizes que geram N , e consequentemente gera qualquer elemento de S ⊥ ?

B S ⊥ = 3 - 4 1 0 ,   3 - 1 0 1  

Aeeeee, prontinho! S ⊥ é justamente o subespaço vetorial gerado por B S ⊥ .

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima galera! 😉

Resposta

Letra C: 3 - 4 1 0 ,   3 - 1 0 1

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