Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

(a) Considere o produto interno em R 2 definido por

u , v = 4 u 1 v 1 + 3 u 2 v 2

onde

u = u 1 , u 2 ,     v = ( v 1 , v 2 )

Considere o subespaço vetorial de R 2

W = s 1,2   : s ∈ R

Determine uma base do seu complemento ortogonal W ⊥ .

(b) Considere o subespaço vetorial

V = s 1,1 : s ∈ R

Encontre um produto interno u , v em R 2 tal que o complemento ortogonal V ⊥ de V seja

V ⊥ = s 1 , - 2   : s ∈ R

Passo 1

(a) Seja w um vetor qualquer de W e v um vetor de W ⊥ .

Pela definição, temos que:

w , v = 0

Foi dado no enunciado que

W = s 1,2   : s ∈ R

Vamos dizer que w = ( 1,2 ) e v = x , y .  

Então:

( 1,2 ) , ( x , y ) = 0

Usando o produto interno dado no enunciado:

4 1 x + 3 2 y = 0

4 x + 6 y = 0

x = - 3 y 2

Então os vetores de W ⊥ são:

x , y = - 3 y 2 , y = y - 3 2 , 1

Ou seja, todos os vetores de W ⊥ são múltiplos do vetor - 3 2 , 1 , então esse vetor forma uma base para esse subespaço.

W ⊥ = t - 3 2 , 1   : t ∈ R

Qualquer múltiplo escalar desse vetor também forma uma base, então pode haver várias respostas possíveis:

- 3 2 , 1

- 3,2

3 , - 2

Passo 2

(b) Vamos pegar o vetor v = 1,1 ∈ V e o vetor u = 1 , - 2 ∈ V ⊥ .

Se tentarmos o produto interno euclidiano usual entre eles, vamos obter:

v , u = 1,1 , ( 1 , - 2 = 1 × 1 + 1 × - 2 = - 1 ≠ 0

Então esses vetores não seriam ortogonais, e o vetor u não estaria no complemento ortogonal de V .

Vamos então tentar um produto interno euclidiano ponderado, da forma:

v , u = λ 1 v 1 u 1 + λ 2 v 2 u 2

Usando esse produto interno que definimos e fazendo:

    1,1 , ( 1 , - 2 ) = 0

Vamos ficar com:

λ 1 × 1 × 1 + λ 2 × 1 × - 2 = 0

λ 1 - 2 λ 2 = 0

λ 1 = 2 λ 2

Podemos escolher então:

λ 1 = 2  

λ 2 = 1

E definir o produto interno:

v , u = 2 v 1 u 1 + 1 v 2 u 2

Resposta

(a) { - 3 2 , 1 } ou qualquer outro conjunto com um múltiplo escalar desse vetor.

(b) Qualquer produto interno do tipo v , u = λ 1 v 1 u 1 + λ 2 v 2 u 2

satisfazendo λ 1 = 2 λ 2

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