Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P3 - 2018.2, Questão 2

(a) Considere o produto interno em Equation definido por

Equation

onde

Equation

Considere o subespaço vetorial de Equation

Equation

Determine uma base do seu complemento ortogonal Equation .

(b) Considere o subespaço vetorial

Equation

Encontre um produto interno Equation em Equation tal que o complemento ortogonal Equation de Equation seja

Equation

Passo 1

(a) Seja Equation um vetor qualquer de Equation e Equation um vetor de Equation

Pela definição, temos que:

Equation

Foi dado no enunciado que

Equation

Vamos dizer que Equation e Equation

Então:

Equation

Usando o produto interno dado no enunciado:

Equation

Equation

Equation

Então os vetores de Equation são:

Equation

Ou seja, todos os vetores de Equation são múltiplos do vetor Equation , então esse vetor forma uma base para esse subespaço.

Equation

Qualquer múltiplo escalar desse vetor também forma uma base, então pode haver várias respostas possíveis:

Equation

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Vamos pegar o vetor Equation e o vetor Equation .

Se tentarmos o produto interno euclidiano usual entre eles, vamos obter:

Equation

Então esses vetores não seriam ortogonais, e o vetor Equation não estaria no complemento ortogonal de Equation .

Vamos então tentar um produto interno euclidiano ponderado, da forma:

Equation

Usando esse produto interno que definimos e fazendo:

Equation

Vamos ficar com:

Equation

Equation

Equation

Podemos escolher então:

Equation

Equation

E definir o produto interno:

Equation

Resposta

(a) Equation ou qualquer outro conjunto com um múltiplo escalar desse vetor.

(b) Qualquer produto interno do tipo Equation Equation

satisfazendo Equation

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