Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 162 – Prob 5.3

Determine uma base de Equation , onde

Equation é a reta em Equation dada por Equation

Equation é o plano em Equation dado por Equation

Equation

Equation

Passo 1

Equation Pela equação da reta temos que Equation . Logo:

Equation

O vetor genérico de Equation tem a forma:

Equation

Então, para acharmos uma base para Equation , basta acharmos o vetor Equation ortogonal à Equation :

Equation

O vetor genérico de Equation é dado por:

Equation

Portanto, Equation

Outra forma possível era termos pensado que, como estamos no Equation , o complemento ortogonal de uma reta será sempre a reta perpendicular a ela.

Sendo assim, podemos obter o vetor gerador de Equation simplesmente pegando os coeficientes da equação que nos foi dada:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Dessa vez vamos usar a cabeça haha. Temos um plano no Equation . Portanto, seu complemento ortogonal será a reta perpendicular a ele concorda? Podemos obtê-la simplesmente pegando os coeficientes da equação do plano:

Equation

Equation

Passo 3

Equation Agora não tem jeito, vamos jogar os geradores de Equation nas linhas de uma matriz e calcular seu núcleo:

Equation

Temos então que:

Equation

Equation

O vetor genérico de Equation é dado por:

Equation

Logo:

Equation

Passo 4

Equation Novamente, jogamos os vetores geradores nas linhas de uma matriz, e calculamos seu núcleo:

Equation

Equation

Tomando Equation como vetor genérico do Equation , temos:

Equation

Equation

Então, o vetor genérico de Equation tem essa cara:

Equation

Portanto,

Equation

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

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