Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Elaboração própria

Foi pedido a Carolzinha que provasse a proposição:

“Se u ,   v R n são ortogonais a H R n , então u + v H , sendo β = u 1 , , u k é base de H

Assim Carolzinha deu a seguinte resposta:

“Devemos primeiramente construir a base de H . E assim, α = { u k + 1 , , u n } é uma possível base de H . Assim, vamos fazer o seguinte:

u + v , u k + 1 = 0

  u + v , u n = 0

Usando as propriedades do produto interno:

u , u k + 1 + v , u k + 1 = 0

u , u n + v , u n = 0

E assim, aplicando a hipótese, vamos ter em todos os casos 0 + 0 = 0 . E assim, como 0 = 0 , é verdade que u + v H

Sabendo que Carolzinha está errada, qual foi o erro de Carolzinha?

Passo 1

Carolzinha fez o produto interno de u + v , que queríamos saber se pertencia à H , com os vetores da base de H e igualou a zero. Isso quer dizer que ela achou que o complemento ortogonal é formado por vetores ortogonais, e isso não é necessariamente verdade.

O complemento ortogonal não é um conjunto ortogonal, ele é ortogonal aos vetores de H .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que Carolzinha deveria ter feito era ter utilizado o fato de que, se u ,   v R n são ortogonais a H , então:

u , u 1 = 0   ( I 11 )

  u , u k = 0   ( I 1 k )

v , u 1 = 0   ( I 21 )

  v , u k = 0 ( I 2 k )

Assim basta somar I 11 + I 21 , , I 1 k + ( I 2 k ) :

u , u 1 + v , u 1 = 0

u , u k + v , u k = 0

Passo 3

-

Reorganizando:

u + v , u 1 = 0

u + v ,   u k = 0

E assim, vemos que u + v é exatamente o complemento ortogonal.

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