Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P2 - 2015.1, Questão 1b

À questão “Seja Equation . Calcule a projeção ortogonal de Equation em Equation .”, Bruninha deu a seguinte solução:

Equation Mostre que Equation . Explique por que Bruninha não deveria esperar que seu cálculo de Equation resultasse no vetor nulo (e portanto sua solução está errada).

Passo 1

Existem vários jeitos de mostrar a primeira parte da pergunta. Um dos jeitos de ver é calcular o complemento ortogonal na marra, e verificar que Equation não está nele. No caso, Bruninha calculou certo o Equation , então é só ver que esses vetores não são múltiplos.

Outro jeito é perceber que o produto interno entre o vetor Equation e o primeiro vetor que gera Equation , isto é, Equation , não é nulo: Equation . Se esse vetor pertencesse ao complemento ortogonal de Equation , teria que ser ortogonal a todos os vetores de Equation . E é só lembrar que dois vetores são ortogonais quando o produto interno deles dá zero. E vimos que isso não acontece!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Não deveria esperar que resultasse no vetor nulo porque, para isso, o vetor deveria pertencer ao complemento ortogonal de Equation , que ela já havia calculado. E como neste caso o complemento ortogonal é gerado por apenas um vetor, então é fácil verificar que Equation . E, assim, a projeção ortogonal sobre Equation não pode dar zero, pois isso só ocorre com os elementos do complemento ortogonal do espaço no qual está sendo projetado.

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