Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2015.1, Questão 09

Seja Equation o conjunto de vetores da reta Equation , com Equation e Equation :

  1. Equation é o complemento ortogonal do espaço gerado pelo vetor Equation
  2. Os vetores de Equation são paralelos ao vetor Equation

Equation Equation é verdadeira e Equation é falsa

Equation Ambas são falsas

Equation Equation é falsa e Equation é verdadeira

Equation Ambas são verdadeiras

Passo 1

Primeira coisa, como ele fala de vetor Equation podemos assumir que estamos no Equation .

Beleza!

O complemento ortogonal de uma reta é a reta ortogonal à ela certo? E pra achar essa reta é só pegarmos os coeficientes da reta e jogarmos num vetor, não é? Assim:

Equation

Então o vetor perpendicular a essa reta será o Equation Então pra reta do enunciado:

Equation

Teremos que o vetor perpendicular é o Equation !

SÓ QUE NÃO!!!!!!

Tentaram fazer uma master pegadinha aqui. Essa história dos coeficientes só vale quando a reta ou o plano passam na origem (que é quase sempre o caso aqui em álgebra)! Ou seja, quando temos uma equação homogênea do tipo:

Equation

A reta do enunciado tem uma constante Equation do outro lado, então esse negócio de coeficientes não vale mais! Logo, a primeira alternativa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

II. Os vetores de Equation são paralelos ao vetor Equation

Os vetores de S são vetores que têm a direção da reta Equation

Vamos ver quais vetores são esses.

Reescrevendo:

Equation

Equation

Equation

Logo, os vetores vão ter coordenadas:

Equation

E não são paralelos à Equation

Por isso a afirmação II também é falsa.

Resposta

Letra Equation

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