Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2018.1, Questão 14

Seja Equation o espaço gerado por Equation , Equation e Equation Se Equation pertence ao complemento ortogonal de Equation então x vale:

(a) -2

(b) -3

(c) -4

(d) -5

Passo 1

Se Equation pertence ao complemento ortogonal de Equation , então pela definição, esse vetor é ortogonal a todos os vetores de H.

Em particular, ele vai ser ortogonal aos vetores da base de H.

Logo, o produto interno de Equation com cada um dos vetores de uma base de H vai ser 0.

E repara que os 3 vetores geradores de H são LI, logo eles formam uma base para H.

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então fazer o produto interno do vetor Equation com cada vetor da base Equation

Equation

Equation

Equation

Pela segunda equação:

Equation

E pela terceira:

Equation

Substituindo esses dois valores na primeira equação, já conseguimos achar o valor de x:

Equation

Equation

Equation

Resposta

(a) -2

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