Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2018.1, Questão 1ab

Seja Equation o espaço vetorial das matrizes dois por dois com produto interno:

Equation

Consideremos Equation

(a) Determine Equation (complemento ortogonal de W)

(b) Seja Equation o operador projeção ortogonal em W. Determine Equation

Passo 1

(a) O complemento ortogonal do subespaço vetorial W vai ser o conjunto formado pelos elementos de V (ou seja, as matrizes dois por dois) que são ortogonais aos elementos de W.

Mais formalmente, vai ser o conjunto:

Equation

Pois vimos que quando o produto interno entre dois elementos de um conjunto é igual a zero, os elementos desse conjunto são ortogonais entre si!

Agora vamos usar o produto interno que o enunciado definiu para expandir as condições desse nosso conjunto Equation .

Pela primeira condição, vamos ter:

Equation

Equation

Já pela segunda:

Equation

Equation

Ou seja, temos o sistema linear:

Equation

Isolando x na primeira equação e t na segunda, vamos ter:

Equation

Equation

Então já podemos escrever agora os elementos de Equation ! Eles vão ser da forma:

Equation

Equation

Logo:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) O enunciado nos disse que:

Equation

Usando a definição de produto interno dada, vemos que as matrizes de W são ortogonais, pois:

Equation

Como a base é ortogonal, a projeção ortogonal de uma matriz A no subespaço vetorial W vai poder ser feita fazendo:

Equation

Sendo:

Equation

Usando a base de W dada, a matriz A que definimos acima e a linearidade do produto interno, vamos ficar com:

Equation

Equation

Equation

Resposta

(a) Equation

(b) Equation

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas