Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

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Enunciado

13) Sabe-se que apenas 36 % dos alunos da disciplina de Probabilidade compram o livro-texto enquanto 64 % usam livros da biblioteca e/ou estudam apenas por notas de aula e materiais disponíveis no Moodle. Foram selecionados aleatoriamente 25 alunos da disciplina. A probabilidade de que o número de alunos que compram o livro-texto dentre os selecionados seja maior que 5 desvios-padrões acima de seu valor médio é (lembre-se: desvio padrão é a raiz quadrada da variância):

A) 1 - ∑ x = 1 21 25 x 0,64 x 0,36 25 - x

B) ∑ x = 21 25 25 x 0,36 x 0,64 25 - x

C) 1 - ∑ x = 22 25 25 x 0,36 x 0,64 25 - x

D) ∑ x = 22 25 25 x 0,36 x 0,64 25 - x

E) ∑ x = 22 25 25 x 0,64 x 0,36 25 - x

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo certo com vocês?

Bora detonar mais uma questão de probabilidade!

Nesse exercício temos todo um contexto bonito pra basicamente apresentar dois eventos:1) O aluno compra o livro-texto para estudar, onde P 1 = 36 % ;

2) O aluno usa o livro da biblioteca ou estuda pelas notas de aula, onde P 2 = 64 % .

Daí, dados esses dois tipos de estudantes, a questão fala que se selecionou, aleatoriamente, 25 alunos. Ao se fazer isso, automaticamente passa a existir um valor médio, μ 1 , e um desvio padrão, σ 1 , da quantidade de alunos do tipo 1 existente nesse grupo.

O que a questão pede é justamente a probabilidade da quantidade de alunos do grupo 1 ser maior do que μ 1 +   5 σ 1 . Sacaram?

Passo 2

Beleza, entender a questão tá tranquilo, mas e como é que resolve ela né? Hahaha.

Po, a primeira coisa é tentar associar essa situação a alguma distribuição de probabilidade. Eaí, será que dá pra identificar?

Calma hahaha, pensa comigo! A gente tem dois eventos, para o que queremos calcular o evento 1 é sucesso, pois selecionamos alunos que compram livro-texto. Já o evento 2 é considerado fracasso. Qual a distribuição de probabilidade quem leva em conta o número de sucessos para uma certa quantidade de tentativas?

É a distribuição Binomial! Lembra que a variável aleatória dela é exatamente o número de sucessos, x , em uma quantidade de tentativas n ?! Onde a probabilidade de sucesso vale p e a de fracasso 1 - p . Pois é galera, nossa questão é exatamente isso.

O número de tentativas vale n = 25 , pois cada aluno selecionado aleatoriamente representa uma chance de ele pertencer ao grupo 1. A probabilidade de sucesso p = 0,36 , pois é a probabilidade de ocorrência do grupo 1.

Mas quem que é x ?

Essa pergunta na verdade é a grande dificuldade dessa questão. Bora olhar o enunciado com calma, já no final ele diz que “...seja maior que 5 desvios-padrões acima de seu valor médio”. É isso, devemos ter:

x > μ 1 + 5 σ 1

Passo 3

Certo, já desenvolvemos bastante, mas a pergunta que não quer calar:

Quem é a média e o desvio-padrão em uma distribuição binomial?

Então, esses resultados não muito legais de ficar desenvolvendo, então é bom sempre ter eles bem guardados na mente.

μ = n p

σ = V X = n p 1 - p

Massa! Substituindo então os dados dessa questão, temos:

μ = 25 ⋅ 0,36 = 9

σ = 25 ⋅ 0,36 ⋅ 1 - 0,36 = 2,4  

Pronto! Como precisamos ter que:

x >   μ 1 + 5 σ 1

Vem:

x > 9 + 5 ⋅ 2,4

⇒ x > 21

Ou seja, os possíveis valores para x são:

x = { 22 ,   23 ,   24   ou 25 }

Passo 4

Top! Agora que já sabemos os possíveis valores de x , é só usarmos a fórmula da probabilidade em uma distribuição binomial:

P X = x =   n x p x ( 1 - p ) n - x

Daí, para x = 22 , por exemplo, teremos:

P X = 22 =   25 22 0,36 22 ( 1 - 0,36 ) 25 - 22

Mas, para essa questão, como x pode assumir 4 valores diferentes, a probabilidade P do número de estudantes do tipo 1 ser maior do que 5 vezes o desvio-padrão acima da média, vale:

P = P X = 22 + P X = 23 + P X = 24 + P ( X = 25 )

Escrevendo isso de um jeito bonitinho em um somatório, teremos:

P =     ∑ x = 22 25 25 x 0,36 x 0,64 25 - x

Aeee, prontinho! Mais uma questão finalizada!

Espero que todos tenham entendido, até a próxima pessoal 😊

Resposta

Letra D: ∑ x = 22 25 25 x 0,36 x 0,64 25 - x

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