Um alto-falante de massa m está preso a uma mola executando um movimento oscilatório enquanto emite uma onda sonora de frequência f0 que se propaga com velocidade v0 em direção a um ouvinte parado, como ilustrado na Figura 1. A Figura 2 mostra o deslocamento da mola em função do tempo. Faça o que é solicitado abaixo e deixe suas respostas apenas em termos dos parâmetros fornecidos no texto e nas figuras (m, f0, v0, a, b).

a) Encontre a menor frequência percebida pelo ouvinte.

b) Encontre a energia potencial elástica do sistema massa-mola em função do tempo.

Passo 1

a) Opa! Essa questão aí tem efeito Doppler! Vamos lembrar da fórmula da frequência:

f = f f ( v ± v o ) ( v ± v f )

Para um observador parado, v o = 0 .

f = f f v v ± v f

Para fonte se aproximando do observador, usamos sinal negativo. Se distanciando do observador, sinal positivo.

A menor frequência percebida pelo observador vai ser então da fonte se distanciando. (Sinal positivo, denominador maior, f fica menor.) Então:

f m í n = f f v v + v f

E f vai ser mínimo na máxima velocidade da fonte! Vamos achar essa velocidade máxima.

Passo 2

Vamos lembrar da solução do MHS:

x t = x m cos ⁡ ω t + φ

E a velocidade, que é a derivada da posição:

v t = - ω x m sin ⁡ ω t + φ

Então a velocidade máxima é:

v m á x = ω x m

E x m nós já conhecemos, que é, pelo gráfico:

x m = a

Nós conseguimos achar ω , por causa da fórmula:

ω = 2 π T

E T, do gráfico é:

T = 4 b

Então:

ω = 2 π 4 b = π 2 b

v m á x = ω x m = π 2 b ∙ a

v m á x = a π 2 b

Passo 3

A frequência mínima percebida pelo observador vai ser então:

f m í n = f f v v + v f

Em que a frequência da fonte f f = f 0 , a velocidade do som é v = v 0 e a velocidade da fonte v f = v m á x .

f m í n = f 0 v 0 v 0 + a π 2 b

Passo 4

b) A energia potencial elástica é:

E = k x 2 2

Não sabemos o valor de k, mas podemos descobrir. Assim:

ω 2 = k / m

k = m ω 2

Substituindo ω :

k = m π 2 b 2

k = m π 2 4 b 2

Então:

E = m π 2 x 2 8 b 2

Falta achar x!

Passo 5

x t = x m cos ⁡ ω t + φ

Vamos substituir o que já temos:

x t = a cos ⁡ π 2 b t + φ

Falta achar φ ! Presta atenção no que eu vou fazer aqui.

Lá do gráfico, conseguimos ver que:

x t = b 2 = 0

Então vamos substituir:

x b 2 = a cos ⁡ π 2 b ∙ b 2 + φ = 0

cos ⁡ π 4 + φ = 0

Como:

cos ⁡ π 2 = 0

π 4 + φ = π 2

φ = π 4

Ufa! Então agora temos x(t):

x t = a cos ⁡ π 2 b t + π 4

E vamos substituir na fórmula da energia:

E = m π 2 8 b 2 a cos ⁡ π 2 b t + π 4 2

E = m π 2 a 2 8 b 2 cos ⁡ π 2 b t + π 4 2

Resposta

a) f m í n = f 0 v 0 v 0 + a π 2 b

b) E = m π 2 a 2 8 b 2 cos ⁡ π 2 b t + π 4 2

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