Um carro com velocidade v 1 = 120 km/h aproxima-se de outro, com velocidade v 2 = 100 km/h, ambos dirigindo para o mesmo sentido. Os motoristas buzinam um para o outro, e uma pessoa na estrada, entre os dois carros, ouve um tom com um batimento. Sendo as frequências das buzinas dos carros f 1 e f 2 , respectivamente determine:

a) Qual a expressão para a frequência do batimento, em função das frequências f 1 e f 2 ?

b) Qual a expressão para a frequência percebida pela pessoa, em função das frequências f 1 e f 2 ?

c) Se a pessoa percebe um tom a 215 Hz, com um batimento de período T = 0, 1s, quais os valores de f 1 e f 2 ?

Passo 1

a) Eita, essa questão tá misturando Efeito Dopler com Batimento.

Mas calma, tá tudo sob controle. (Eu acho.)

Então! Primeiro vamos calcular as frequências percebidas pelo observador. A gente usa essa fórmula:

f 0 = f f v ± v 0 v ± v f

Em que os subscritos o e f correspondem a observador e fonte. Os sinas a gente faz assim: referencial sempre positivo do observador pra fonte.

Para o carro 1:

f 1 ' = f 1 v v - v 1

Como ele mandou considerar a velocidade do som igual a 1200 km/h:

f 1 ' = f 1 1200 1200 - 120

f 1 ' = 10 9 f 1

Para o carro 2:

f 2 ' = f 2 v v + v 2

f 2 ' = f 2 1200 1200 + 100

f 2 ' = 12 13 f 2

E a frequência de batimento vai ser:

∆ f = f 1 ' - f 2 '

∆ f = 10 9 f 1 - 12 13 f 2

Passo 2

b) A frequência percebida vai ser a média das duas frequências. Ou seja:

f - = f 1 ' + f 2 ' 2

f - = 5 9 f 1 + 6 13 f 2

Passo 3

c) Então, ele deu duas informações pra gente.

Primeiro que a frequência percebida é de 215 Hz. Ou seja, a frequência MÉDIA é de 215 Hz.

f - = f 1 ' + f 2 ' 2 = 215

f 1 ' + f 2 ' = 430

A outra informação foi que a frequência de batimento é de:

∆ f = 1 0,1 = 10   H z

Passo 4

Para a frequência de batimento nós temos duas hipóteses:

  • ∆ f = f 1 ' - f 2 '
  • E então:

    f 1 ' > f 2 '

    f 1 ' = f - + ∆ f 2

    f 1 ' = 215 + 10 2

    f 1 ' = 220

    10 9 f 1 = 220

    f 1 = 198   H z

    Com isso:

    f 2 ' = 430 - 220

    f 2 ' = 210   H z

    12 13 f 2 = 210

    f 2 = 227,5   H z

  • ∆ f = f 2 ' - f 1 '

E então:

f 2 ' > f 1 '

f 1 ' = f - - ∆ f 2

f 1 ' = 215 - 10 2

f 1 ' = 210

10 9 f 1 = 210

f 1 = 189   H z

Com isso:

f 2 ' = 430 - 210

f 2 ' = 220   H z

12 13 f 2 = 220

f 2 ≅ 238,33 …   H z

Resposta

a) ∆ f = 10 9 f 1 - 12 13 f 2

b) f - = 5 9 f 1 + 6 13 f 2

c) f 1 = 198   H z e f 2 = 227,5   H z ou f 1 = 189   H z e f 2 ≅ 238,33 …   H z

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